Алгебра Примеры

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = \frac{3}{4}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, x^{2}, 4$

Этап 1.2

Так как $x, x^{2}, 4$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 4$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{1}, x^{2}$ .

Этап 1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.5

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 1.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 1.9

НОК $x^{1}, x^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x$

Этап 1.10

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2}$

Этап 1.11

НОК $x, x^{2}, 4$ представляет собой произведение числовой части $4$ и переменной части.

$4 x^{2}$

Этап 2

Каждый член в $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = \frac{3}{4}$ умножим на $4 x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = \frac{3}{4}$ на $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{x} (4 x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} (4 x^{2}) = \frac{3}{4} (4 x^{2})$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} (4 x^{2}) = \frac{3}{4} (4 x^{2})$

Этап 2.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} (4 x^{2}) = \frac{3}{4} (4 x^{2})$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{4}{x} (x \cdot x) + \frac{1}{x^{2}} (4 x^{2}) = \frac{3}{4} (4 x^{2})$

Этап 2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{x} (x \cdot x) + \frac{1}{x^{2}} (4 x^{2}) = \frac{3}{4} (4 x^{2})$

Этап 2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$4 x + \frac{1}{x^{2}} (4 x^{2}) = \frac{3}{4} (4 x^{2})$

Этап 2.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x + 4 \frac{1}{x^{2}} x^{2} = \frac{3}{4} (4 x^{2})$

Этап 2.2.1.5

Объединим $4$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$4 x + \frac{4}{x^{2}} x^{2} = \frac{3}{4} (4 x^{2})$

Этап 2.2.1.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$4 x + \frac{4}{x^{2}} x^{2} = \frac{3}{4} (4 x^{2})$

Этап 2.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$4 x + 4 = \frac{3}{4} (4 x^{2})$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$4 x + 4 = \frac{3}{4} (4 (x^{2}))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$4 x + 4 = \frac{3}{4} (4 x^{2})$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$4 x + 4 = 3 x^{2}$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 x + 4 - 3 x^{2} = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $4 x + 4 - 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Перенесем $4$ .

$4 x - 3 x^{2} + 4 = 0$

Этап 3.2.1.1.2

Изменим порядок $4 x$ и $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 4 x + 4 = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $4 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 4 x) + 4 = 0$

Этап 3.2.1.4

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (- 4 x)$ .

$- (3 x^{2} - 4 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

Этап 3.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} - 4 x) - 1 (- 4)$ .

$- (3 x^{2} - 4 x - 4) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ , а сумма — $b = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x$ .

$- (3 x^{2} - 4 x - 4) = 0$

Этап 3.2.2.1.1.2

Запишем $- 4$ как $2$ плюс $- 6$

$- (3 x^{2} + (2 - 6) x - 4) = 0$

Этап 3.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (3 x^{2} + 2 x - 6 x - 4) = 0$

Этап 3.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((3 x^{2} + 2 x) - 6 x - 4) = 0$

Этап 3.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (x (3 x + 2) - 2 (3 x + 2)) = 0$

Этап 3.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 2$ .

$- ((3 x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 3.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (3 x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $3 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 3.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 3.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 3.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (3 x + 2) (x - 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{2}{3}, 2$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{2}{3}, 2$

Десятичная форма:

$x = - 0.\overline{6}, 2$