Алгебра Примеры

$x^{2} - 4 x + 2 > 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 4 x + 2 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Вычтем $8$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Этап 5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3

Вычтем $8$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Этап 5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 2 + \sqrt{2}$

Этап 6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3

Вычтем $8$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Этап 6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 2 - \sqrt{2}$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 2 - \sqrt{2}$

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$

$x > 2 + \sqrt{2}$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < 2 - \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < 2 - \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 2 > 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

${(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 2 > 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $- 2$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > 2 + \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2 + \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

${(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 2 > 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $14$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 2 - \sqrt{2}$ Истина

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ Ложь

$x > 2 + \sqrt{2}$ Истина

$x < 2 - \sqrt{2}$ Истина

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ Ложь

$x > 2 + \sqrt{2}$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 2 - \sqrt{2}$ или $x > 2 + \sqrt{2}$

Этап 11