Алгебра Примеры

$4 x^{2} + 9 x \leq x - 3$

Этап 1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x$ из обеих частей неравенства.

$4 x^{2} + 9 x - x \leq - 3$

Этап 1.2

Вычтем $x$ из $9 x$ .

$4 x^{2} + 8 x \leq - 3$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$4 x^{2} + 8 x = - 3$

Этап 3

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} + 8 x + 3 = 0$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$4 x^{2} + 8 (x) + 3 = 0$

Этап 4.1.2

Запишем $8$ как $2$ плюс $6$

$4 x^{2} + (2 + 6) x + 3 = 0$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} + 2 x + 6 x + 3 = 0$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 x^{2} + 2 x) + 6 x + 3 = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) = 0$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (2 x + 3) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Этап 6

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 7

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Этап 7.2

Решим $2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 1) (2 x + 3) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < - \frac{1}{2}$

$x > - \frac{1}{2}$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$4 {(- 4)}^{2} + 9 (- 4) \leq (- 4) - 3$

Этап 10.1.3

Левая часть $28$ больше правой части $- 7$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- \frac{3}{2} < x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{3}{2} < x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

$4 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) \leq (- 1) - 3$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 5$ меньше правой части $- 4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$4 {(0)}^{2} + 9 (0) \leq (0) - 3$

Этап 10.3.3

Левая часть $0$ больше правой части $- 3$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{3}{2}$ Ложь

$- \frac{3}{2} < x < - \frac{1}{2}$ Истина

$x > - \frac{1}{2}$ Ложь

$x < - \frac{3}{2}$ Ложь

$- \frac{3}{2} < x < - \frac{1}{2}$ Истина

$x > - \frac{1}{2}$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{3}{2} \leq x \leq - \frac{1}{2}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \frac{3}{2} \leq x \leq - \frac{1}{2}$

Интервальное представление:

$[- \frac{3}{2}, - \frac{1}{2}]$

Этап 13