Алгебра Примеры

$f (x) = x {(x + 5)}^{2} (x + 3)$

Этап 1

Определим степень функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим и упорядочим многочлен.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем ${(x + 5)}^{2}$ в виде $(x + 5) (x + 5)$ .

$x ((x + 5) (x + 5)) (x + 3)$

Этап 1.1.2

Развернем $(x + 5) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x (x + 5) + 5 (x + 5)) (x + 3)$

Этап 1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) (x + 3)$

Этап 1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Этап 1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Этап 1.1.3.1.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$x (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Этап 1.1.3.1.3

Умножим $5$ на $5$ .

$x (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) (x + 3)$

Этап 1.1.3.2

Добавим $5 x$ и $5 x$ .

$x (x^{2} + 10 x + 25) (x + 3)$

Этап 1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Этап 1.1.5.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{1 + 2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Этап 1.1.5.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$(x^{3} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Этап 1.1.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(x^{3} + 10 x \cdot x + x \cdot 25) (x + 3)$

Этап 1.1.5.3

Перенесем $25$ влево от $x$ .

$(x^{3} + 10 x \cdot x + 25 \cdot x) (x + 3)$

Этап 1.1.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Перенесем $x$ .

$(x^{3} + 10 (x \cdot x) + 25 \cdot x) (x + 3)$

Этап 1.1.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{3} + 10 x^{2} + 25 \cdot x) (x + 3)$

$(x^{3} + 10 x^{2} + 25 x) (x + 3)$

Этап 1.1.7

Развернем $(x^{3} + 10 x^{2} + 25 x) (x + 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Этап 1.1.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Этап 1.1.8.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Этап 1.1.8.1.1.2

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{4} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Этап 1.1.8.1.2

Перенесем $3$ влево от $x^{3}$ .

$x^{4} + 3 \cdot x^{3} + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Этап 1.1.8.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.3.1

Перенесем $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 (x \cdot x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Этап 1.1.8.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 (x^{1} x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Этап 1.1.8.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{1 + 2} + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Этап 1.1.8.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Этап 1.1.8.1.4

Умножим $3$ на $10$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Этап 1.1.8.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.5.1

Перенесем $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 (x \cdot x) + 25 x \cdot 3$

Этап 1.1.8.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 25 x \cdot 3$

Этап 1.1.8.1.6

Умножим $3$ на $25$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 75 x$

Этап 1.1.8.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.2.1

Добавим $3 x^{3}$ и $10 x^{3}$ .

$x^{4} + 13 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 75 x$

Этап 1.1.8.2.2

Добавим $30 x^{2}$ и $25 x^{2}$ .

$x^{4} + 13 x^{3} + 55 x^{2} + 75 x$

Этап 1.2

Наибольший показатель степени называется степенью многочлена.

$4$

Этап 2

Поскольку степень четная, края функции будут указывать одно направление.

Четные

Этап 3

Определим старший коэффициент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим многочлен и упорядочим его слева направо, начиная с члена с наивысшей степенью.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем ${(x + 5)}^{2}$ в виде $(x + 5) (x + 5)$ .

$x ((x + 5) (x + 5)) (x + 3)$

Этап 3.1.2

Развернем $(x + 5) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x (x + 5) + 5 (x + 5)) (x + 3)$

Этап 3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) (x + 3)$

Этап 3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Этап 3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Этап 3.1.3.1.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$x (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Этап 3.1.3.1.3

Умножим $5$ на $5$ .

$x (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) (x + 3)$

Этап 3.1.3.2

Добавим $5 x$ и $5 x$ .

$x (x^{2} + 10 x + 25) (x + 3)$

Этап 3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Этап 3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Этап 3.1.5.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{1 + 2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Этап 3.1.5.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$(x^{3} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Этап 3.1.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(x^{3} + 10 x \cdot x + x \cdot 25) (x + 3)$

Этап 3.1.5.3

Перенесем $25$ влево от $x$ .

$(x^{3} + 10 x \cdot x + 25 \cdot x) (x + 3)$

Этап 3.1.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Перенесем $x$ .

$(x^{3} + 10 (x \cdot x) + 25 \cdot x) (x + 3)$

Этап 3.1.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{3} + 10 x^{2} + 25 \cdot x) (x + 3)$

$(x^{3} + 10 x^{2} + 25 x) (x + 3)$

Этап 3.1.7

Развернем $(x^{3} + 10 x^{2} + 25 x) (x + 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Этап 3.1.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Этап 3.1.8.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Этап 3.1.8.1.1.2

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{4} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Этап 3.1.8.1.2

Перенесем $3$ влево от $x^{3}$ .

$x^{4} + 3 \cdot x^{3} + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Этап 3.1.8.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1.3.1

Перенесем $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 (x \cdot x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Этап 3.1.8.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 (x^{1} x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Этап 3.1.8.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{1 + 2} + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Этап 3.1.8.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Этап 3.1.8.1.4

Умножим $3$ на $10$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Этап 3.1.8.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1.5.1

Перенесем $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 (x \cdot x) + 25 x \cdot 3$

Этап 3.1.8.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 25 x \cdot 3$

Этап 3.1.8.1.6

Умножим $3$ на $25$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 75 x$

Этап 3.1.8.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.2.1

Добавим $3 x^{3}$ и $10 x^{3}$ .

$x^{4} + 13 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 75 x$

Этап 3.1.8.2.2

Добавим $30 x^{2}$ и $25 x^{2}$ .

$x^{4} + 13 x^{3} + 55 x^{2} + 75 x$

Этап 3.2

Старший член многочлена — это член с наивысшим показателем степени.

$x^{4}$

Этап 3.3

Старший коэффициент многочлена — это коэффициент его старшего члена.

$1$

Этап 4

Поскольку старший коэффициент положителен, график возрастает вправо.

Положительные

Этап 5

Используем степень и знак старшего коэффициента для определения поведения функции.

1. Четный и положительный: поднимается влево и поднимается вправо.

2. Четный и отрицательный: опускается влево и опускается вправо.

3. Нечетный и положительный: опускается влево и поднимается вправо.

4. Нечетный и отрицательный: поднимается влево и опускается вправо

Этап 6

Определим поведение.

Возрастает влево и возрастает вправо

Этап 7