Алгебра Примеры

$f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1$

Этап 1

Запишем $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1$ в виде уравнения.

$y = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = {(\frac{\sqrt[7]{y}}{10})}^{5} + 1$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[7]{y}}{10}$ .

$x = \frac{{\sqrt[7]{y}}^{5}}{10^{5}} + 1$

Этап 3.1.2

Перепишем ${\sqrt[7]{y}}^{5}$ в виде $\sqrt[7]{y^{5}}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{5}}}{10^{5}} + 1$

Этап 3.1.3

Возведем $10$ в степень $5$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{5}}}{100000} + 1$

Этап 3.2

Перепишем уравнение в виде $\frac{\sqrt[7]{y^{5}}}{100000} + 1 = x$ .

$\frac{\sqrt[7]{y^{5}}}{100000} + 1 = x$

Этап 3.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{y^{5}}$ в виде $y^{\frac{5}{7}}$ .

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{100000} + 1 = x$

Этап 3.4

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{100000} - x = - 1$

Этап 3.4.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{100000} = - 1 + x$

Этап 3.5

Умножим обе части уравнения на $100000$ .

$100000 \frac{y^{\frac{5}{7}}}{100000} = 100000 (- 1 + x)$

Этап 3.6

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Сократим общий множитель $100000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1.1

Сократим общий множитель.

$100000 \frac{y^{\frac{5}{7}}}{100000} = 100000 (- 1 + x)$

Этап 3.6.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{\frac{5}{7}} = 100000 (- 1 + x)$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Упростим $100000 (- 1 + x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{\frac{5}{7}} = 100000 \cdot - 1 + 100000 x$

Этап 3.6.2.1.2

Умножим $100000$ на $- 1$ .

$y^{\frac{5}{7}} = - 100000 + 100000 x$

Этап 3.7

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{7}{5}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Этап 3.8

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим ${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Этап 3.8.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Этап 3.8.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Этап 3.8.1.1.3

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Этап 3.8.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Этап 3.8.1.2

Упростим.

$y = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$ обратной к $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1))}^{\frac{7}{5}}$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[7]{x}}{10}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{5}}{10^{5}} + 1))}^{\frac{7}{5}}$

Этап 5.2.3.1.2

Перепишем ${\sqrt[7]{x}}^{5}$ в виде $\sqrt[7]{x^{5}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 (\frac{\sqrt[7]{x^{5}}}{10^{5}} + 1))}^{\frac{7}{5}}$

Этап 5.2.3.1.3

Возведем $10$ в степень $5$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 (\frac{\sqrt[7]{x^{5}}}{100000} + 1))}^{\frac{7}{5}}$

Этап 5.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 (\frac{\sqrt[7]{x^{5}}}{100000}) + 100000 \cdot 1)}^{\frac{7}{5}}$

Этап 5.2.3.3

Сократим общий множитель $100000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 (\frac{\sqrt[7]{x^{5}}}{100000}) + 100000 \cdot 1)}^{\frac{7}{5}}$

Этап 5.2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + \sqrt[7]{x^{5}} + 100000 \cdot 1)}^{\frac{7}{5}}$

Этап 5.2.3.4

Умножим $100000$ на $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + \sqrt[7]{x^{5}} + 100000)}^{\frac{7}{5}}$

Этап 5.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим противоположные члены в $- 100000 + \sqrt[7]{x^{5}} + 100000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Добавим $- 100000$ и $100000$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(0 + \sqrt[7]{x^{5}})}^{\frac{7}{5}}$

Этап 5.2.4.1.2

Добавим $0$ и $\sqrt[7]{x^{5}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {\sqrt[7]{x^{5}}}^{\frac{7}{5}}$

Этап 5.2.4.2

Перепишем ${\sqrt[7]{x^{5}}}^{\frac{7}{5}}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{x^{5}}$ в виде $x^{\frac{5}{7}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(x^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$

Этап 5.2.4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}}$

Этап 5.2.4.2.3

Умножим $\frac{5}{7}$ на $\frac{7}{5}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x^{\frac{5 \cdot 7}{7 \cdot 5}}$

Этап 5.2.4.2.4

Умножим $5$ на $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x^{\frac{35}{7 \cdot 5}}$

Этап 5.2.4.2.5

Умножим $7$ на $5$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x^{\frac{35}{35}}$

Этап 5.2.4.2.6

Сократим общий множитель $35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x^{\frac{35}{35}}$

Этап 5.2.4.2.6.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x$

Этап 5.2.4.2.7

Упростим.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{\sqrt[7]{{(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}}}{10})}^{5} + 1$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Перепишем ${(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$ в виде ${({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}})}^{7}$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{\sqrt[7]{{({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}})}^{7}}}{10})}^{5} + 1$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{{(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}}}{10})}^{5} + 1$

Этап 5.3.3.2

Применим правило умножения к $\frac{{(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}}}{10}$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{{({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{10^{5}} + 1$

Этап 5.3.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{{(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{10^{5}} + 1$

Этап 5.3.3.3.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{{(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{10^{5}} + 1$

Этап 5.3.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{- 100000 + 100000 x}{10^{5}} + 1$

Этап 5.3.3.3.2

Упростим.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{- 100000 + 100000 x}{10^{5}} + 1$

Этап 5.3.3.3.3

Вынесем множитель $100000$ из $- 100000 + 100000 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.3.1

Вынесем множитель $100000$ из $- 100000$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{100000 \cdot - 1 + 100000 x}{10^{5}} + 1$

Этап 5.3.3.3.3.2

Вынесем множитель $100000$ из $100000 \cdot - 1 + 100000 x$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{100000 (- 1 + x)}{10^{5}} + 1$

Этап 5.3.3.4

Возведем $10$ в степень $5$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{100000 (- 1 + x)}{100000} + 1$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель $100000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{100000 (- 1 + x)}{100000} + 1$

Этап 5.3.3.5.2

Разделим $- 1 + x$ на $1$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = - 1 + x + 1$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $- 1 + x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$ — обратная к $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$