Алгебра Примеры

$\frac{3}{2 x - 1} > \frac{- 5}{x}$

Этап 1

Вычтем $\frac{- 5}{x}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{3}{2 x - 1} - \frac{- 5}{x} > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{3}{2 x - 1} - \frac{- 5}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{2 x - 1} - - \frac{5}{x} > 0$

Этап 2.1.2

Умножим $- - \frac{5}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3}{2 x - 1} + 1 \frac{5}{x} > 0$

Этап 2.1.2.2

Умножим $\frac{5}{x}$ на $1$ .

$\frac{3}{2 x - 1} + \frac{5}{x} > 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{3}{2 x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3}{2 x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{5}{x} > 0$

Этап 2.3

Чтобы записать $\frac{5}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{3}{2 x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{5}{x} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} > 0$

Этап 2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 x - 1) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{3}{2 x - 1}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 x}{(2 x - 1) x} + \frac{5}{x} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} > 0$

Этап 2.4.2

Умножим $\frac{5}{x}$ на $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{3 x}{(2 x - 1) x} + \frac{5 (2 x - 1)}{x (2 x - 1)} > 0$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $(2 x - 1) x$ .

$\frac{3 x}{x (2 x - 1)} + \frac{5 (2 x - 1)}{x (2 x - 1)} > 0$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x + 5 (2 x - 1)}{x (2 x - 1)} > 0$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x + 5 (2 x) + 5 \cdot - 1}{x (2 x - 1)} > 0$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{3 x + 10 x + 5 \cdot - 1}{x (2 x - 1)} > 0$

Этап 2.6.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{3 x + 10 x - 5}{x (2 x - 1)} > 0$

Этап 2.6.4

Добавим $3 x$ и $10 x$ .

$\frac{13 x - 5}{x (2 x - 1)} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

$13 x - 5 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Этап 4

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$13 x = 5$

Этап 5

Разделим каждый член $13 x = 5$ на $13$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $13 x = 5$ на $13$ .

$\frac{13 x}{13} = \frac{5}{13}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{13 x}{13} = \frac{5}{13}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{13}$

Этап 6

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 7

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = \frac{5}{13}$

$x = \frac{1}{2}$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 0, \frac{5}{13}, \frac{1}{2}$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{13 x - 5}{x (2 x - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{13 x - 5}{x (2 x - 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x (2 x - 1) = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Этап 10.2.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 10.2.3

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 10.2.3.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 10.2.3.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 10.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 10.2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 10.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (2 x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \frac{5}{13}$

$\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{3}{2 (- 2) - 1} > \frac{- 5}{- 2}$

Этап 12.1.3

Левая часть $- 0.6$ не больше правой части $2.5$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{5}{13}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{5}{13}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.19$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $0.19$ в исходном неравенстве.

$\frac{3}{2 (0.19) - 1} > \frac{- 5}{0.19}$

Этап 12.2.3

Левая часть $- 4.83870967$ больше правой части $- 26.31578947$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.44$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $0.44$ в исходном неравенстве.

$\frac{3}{2 (0.44) - 1} > \frac{- 5}{0.44}$

Этап 12.3.3

Левая часть $- 25$ не больше правой части $- 11.\overline{36}$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{3}{2 (3) - 1} > \frac{- 5}{3}$

Этап 12.4.3

Левая часть $0.6$ больше правой части $- 1.\overline{6}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{5}{13}$ Истина

$\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$ Ложь

$x > \frac{1}{2}$ Истина

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{5}{13}$ Истина

$\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$ Ложь

$x > \frac{1}{2}$ Истина

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < \frac{5}{13}$ или $x > \frac{1}{2}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 < x < \frac{5}{13} or x > \frac{1}{2}$

Интервальное представление:

$(0, \frac{5}{13}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 15