Алгебра Примеры

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{2}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{2}{x^{2} - 1^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 1, x + 1, (x + 1) (x - 1)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x - 1, x + 1, x + 1, x - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 1) (x + 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ умножим на $(x - 1) (x + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ на $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - \frac{1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - \frac{1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x + 1 - \frac{1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x + 1}$ в числитель.

$x + 1 + \frac{- 1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.2.2

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x - 1) (x + 1)$ .

$x + 1 + \frac{- 1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$x + 1 + \frac{- 1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$x + 1 - (x - 1) = \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 - x - - 1 = \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x + 1 - x + 1 = \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим противоположные члены в $x + 1 - x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$0 + 1 + 1 = \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1 + 1 = \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$2 = \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(x - 1) (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(x - 1) (x + 1)$ из $(x + 1) (x - 1)$ .

$2 = \frac{2}{(x - 1) (x + 1) (1)} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$2 = \frac{2}{(x - 1) (x + 1) \cdot 1} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$2 = 2$

Этап 4

Поскольку $2 = 2$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$