Алгебра Примеры

$\frac{1}{x + 1} + \frac{3}{x^{2} - 1} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{x + 1} + \frac{3}{x^{2} - 1^{2}} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{1}{x + 1} + \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{1}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 1 + 3}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5

Добавим $- 1$ и $3$ .

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 6

Чтобы записать $\frac{x + 2}{(x + 1) (x - 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 7

Чтобы записать $- \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Этап 8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 1) {(x + 1)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{x + 2}{(x + 1) (x - 1)}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1) (x + 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Этап 8.2

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Этап 8.3

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1} (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Этап 8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Этап 8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Этап 8.6

Умножим $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)} - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 2) (x + 1) - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Развернем $(x + 2) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x + 1) + 2 (x + 1) - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Этап 10.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 2 (x + 1) - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Этап 10.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1 - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Этап 10.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1 - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Этап 10.2.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 2 x + 2 \cdot 1 - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Этап 10.2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 2 x + 2 - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Этап 10.2.2

Добавим $x$ и $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 - 2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Этап 10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 - 2 x - 2 \cdot - 1}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Этап 10.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 - 2 x + 2}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Этап 10.5

Вычтем $2 x$ из $3 x$ .

$\frac{x^{2} + x + 2 + 2}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$

Этап 10.6

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{x^{2} + x + 4}{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}$