Алгебра Примеры

$x^{2} + y^{2} = 169$ $x^{2} + y = 13$

Этап 1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y = 13 - x^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 169$

Этап 2

Заменим все вхождения $y$ на $13 - x^{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $y$ в $x^{2} + y^{2} = 169$ на $13 - x^{2}$ .

$x^{2} + {(13 - x^{2})}^{2} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $x^{2} + {(13 - x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем ${(13 - x^{2})}^{2}$ в виде $(13 - x^{2}) (13 - x^{2})$ .

$x^{2} + (13 - x^{2}) (13 - x^{2}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Развернем $(13 - x^{2}) (13 - x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 13 (13 - x^{2}) - x^{2} (13 - x^{2}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 13 \cdot 13 + 13 (- x^{2}) - x^{2} (13 - x^{2}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 13 \cdot 13 + 13 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 13 - x^{2} (- x^{2}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

$x^{2} + 13 \cdot 13 + 13 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 13 - x^{2} (- x^{2}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 2.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.1

Умножим $13$ на $13$ .

$x^{2} + 169 + 13 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 13 - x^{2} (- x^{2}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 2.2.1.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $13$ .

$x^{2} + 169 - 13 x^{2} - x^{2} \cdot 13 - x^{2} (- x^{2}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 2.2.1.1.3.1.3

Умножим $13$ на $- 1$ .

$x^{2} + 169 - 13 x^{2} - 13 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 2.2.1.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 169 - 13 x^{2} - 13 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 2.2.1.1.3.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{2} + 169 - 13 x^{2} - 13 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 2.2.1.1.3.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} + 169 - 13 x^{2} - 13 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 2.2.1.1.3.1.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{2} + 169 - 13 x^{2} - 13 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

$x^{2} + 169 - 13 x^{2} - 13 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 2.2.1.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} + 169 - 13 x^{2} - 13 x^{2} + 1 x^{4} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 2.2.1.1.3.1.7

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{2} + 169 - 13 x^{2} - 13 x^{2} + x^{4} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

$x^{2} + 169 - 13 x^{2} - 13 x^{2} + x^{4} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 2.2.1.1.3.2

Вычтем $13 x^{2}$ из $- 13 x^{2}$ .

$x^{2} + 169 - 26 x^{2} + x^{4} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

$x^{2} + 169 - 26 x^{2} + x^{4} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

$x^{2} + 169 - 26 x^{2} + x^{4} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 2.2.1.2

Вычтем $26 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- 25 x^{2} + 169 + x^{4} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

$- 25 x^{2} + 169 + x^{4} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

$- 25 x^{2} + 169 + x^{4} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

$- 25 x^{2} + 169 + x^{4} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3

Решим относительно $x$ в $- 25 x^{2} + 169 + x^{4} = 169$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 25 u + 169 = 169$

$u = x^{2}$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.2

Вычтем $169$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} - 25 u + 169 - 169 = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.3

Объединим противоположные члены в $u^{2} - 25 u + 169 - 169$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $169$ из $169$ .

$u^{2} - 25 u + 0 = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.3.2

Добавим $u^{2} - 25 u$ и $0$ .

$u^{2} - 25 u = 0$

$y = 13 - x^{2}$

$u^{2} - 25 u = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $u$ из $u^{2} - 25 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$u \cdot u - 25 u = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $u$ из $- 25 u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 25 = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u + u \cdot - 25$ .

$u (u - 25) = 0$

$y = 13 - x^{2}$

$u (u - 25) = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u = 0$

$u - 25 = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.6

Приравняем $u$ к $0$ .

$u = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.7

Приравняем $u - 25$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $u - 25$ к $0$ .

$u - 25 = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.7.2

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$u = 25$

$y = 13 - x^{2}$

$u = 25$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $u (u - 25) = 0$ верно.

$u = 0, 25$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.9

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 0$

$x^{2} = 25$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.10

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.11.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.11.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.11.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

$y = 13 - x^{2}$

$x = 0$

$y = 13 - x^{2}$

$x = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.12

Решим второе уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 25$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.13

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 25$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.13.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{25}$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.13.3

Упростим $\pm \sqrt{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.13.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 5$

$y = 13 - x^{2}$

$x = \pm 5$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.13.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.13.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.13.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5, - 5$

$y = 13 - x^{2}$

$x = 5, - 5$

$y = 13 - x^{2}$

$x = 5, - 5$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 3.14

Решением $x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 169$ является $x = 0, 5, - 5$ .

$x = 0, 5, - 5$

$y = 13 - x^{2}$

$x = 0, 5, - 5$

$y = 13 - x^{2}$

Этап 4

Заменим все вхождения $x$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = 13 - x^{2}$ на $0$ .

$y = 13 - {(0)}^{2}$

$x = 0$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $13 - {(0)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 13 - 0$

$x = 0$

Этап 4.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$y = 13 + 0$

$x = 0$

$y = 13 + 0$

$x = 0$

Этап 4.2.1.2

Добавим $13$ и $0$ .

$y = 13$

$x = 0$

$y = 13$

$x = 0$

$y = 13$

$x = 0$

$y = 13$

$x = 0$

Этап 5

Заменим все вхождения $x$ на $5$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = 13 - x^{2}$ на $5$ .

$y = 13 - {(5)}^{2}$

$x = 5$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $13 - {(5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$y = 13 - 1 \cdot 25$

$x = 5$

Этап 5.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$y = 13 - 25$

$x = 5$

$y = 13 - 25$

$x = 5$

Этап 5.2.1.2

Вычтем $25$ из $13$ .

$y = - 12$

$x = 5$

$y = - 12$

$x = 5$

$y = - 12$

$x = 5$

$y = - 12$

$x = 5$

Этап 6

Заменим все вхождения $x$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = 13 - x^{2}$ на $0$ .

$y = 13 - {(0)}^{2}$

$x = 0$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим $13 - {(0)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 13 - 0$

$x = 0$

Этап 6.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$y = 13 + 0$

$x = 0$

$y = 13 + 0$

$x = 0$

Этап 6.2.1.2

Добавим $13$ и $0$ .

$y = 13$

$x = 0$

$y = 13$

$x = 0$

$y = 13$

$x = 0$

$y = 13$

$x = 0$

Этап 7

Заменим все вхождения $x$ на $5$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = 13 - x^{2}$ на $5$ .

$y = 13 - {(5)}^{2}$

$x = 5$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим $13 - {(5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$y = 13 - 1 \cdot 25$

$x = 5$

Этап 7.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$y = 13 - 25$

$x = 5$

$y = 13 - 25$

$x = 5$

Этап 7.2.1.2

Вычтем $25$ из $13$ .

$y = - 12$

$x = 5$

$y = - 12$

$x = 5$

$y = - 12$

$x = 5$

$y = - 12$

$x = 5$

Этап 8

Заменим все вхождения $x$ на $- 5$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = 13 - x^{2}$ на $- 5$ .

$y = 13 - {(- 5)}^{2}$

$x = - 5$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим $13 - {(- 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$y = 13 - 1 \cdot 25$

$x = - 5$

Этап 8.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$y = 13 - 25$

$x = - 5$

$y = 13 - 25$

$x = - 5$

Этап 8.2.1.2

Вычтем $25$ из $13$ .

$y = - 12$

$x = - 5$

$y = - 12$

$x = - 5$

$y = - 12$

$x = - 5$

$y = - 12$

$x = - 5$

Этап 9

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 13)$

$(5, - 12)$

$(- 5, - 12)$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(0, 13), (5, - 12), (- 5, - 12)$

Форма уравнения:

$x = 0, y = 13$

$x = 5, y = - 12$

$x = - 5, y = - 12$

Этап 11