Алгебра Примеры

$y = {(2 x - 1)}^{2} - 2$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = {(2 y - 1)}^{2} - 2$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде ${(2 y - 1)}^{2} - 2 = x$ .

${(2 y - 1)}^{2} - 2 = x$

Этап 2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

${(2 y - 1)}^{2} = x + 2$

Этап 2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$2 y - 1 = \pm \sqrt{x + 2}$

Этап 2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$2 y - 1 = \sqrt{x + 2}$

Этап 2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 y = \sqrt{x + 2} + 1$

Этап 2.4.3

Разделим каждый член $2 y = \sqrt{x + 2} + 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Разделим каждый член $2 y = \sqrt{x + 2} + 1$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 2.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 2.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 2.4.4

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$2 y - 1 = - \sqrt{x + 2}$

Этап 2.4.5

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 y = - \sqrt{x + 2} + 1$

Этап 2.4.6

Разделим каждый член $2 y = - \sqrt{x + 2} + 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Разделим каждый член $2 y = - \sqrt{x + 2} + 1$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 2.4.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 2.4.6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 2.4.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 2.4.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ обратной к $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ и $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 2, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения $\frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 2}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 2 \geq 0$

Этап 4.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 2$

Этап 4.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 2, \infty)$

Этап 4.4

Найдем область определения $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ , представляет область определения $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ — обратная к $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 5