Алгебра Примеры

$x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 52 x - 60$

Этап 1

Разложим $x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 52 x - 60$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

Этап 1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{4} - 6 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 52 \cdot 2 - 60$

Этап 1.3.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 - 6 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 52 \cdot 2 - 60$

Этап 1.3.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$16 - 6 \cdot 8 - 3 \cdot 2^{2} + 52 \cdot 2 - 60$

Этап 1.3.4

Умножим $- 6$ на $8$ .

$16 - 48 - 3 \cdot 2^{2} + 52 \cdot 2 - 60$

Этап 1.3.5

Вычтем $48$ из $16$ .

$- 32 - 3 \cdot 2^{2} + 52 \cdot 2 - 60$

Этап 1.3.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 32 - 3 \cdot 4 + 52 \cdot 2 - 60$

Этап 1.3.7

Умножим $- 3$ на $4$ .

$- 32 - 12 + 52 \cdot 2 - 60$

Этап 1.3.8

Вычтем $12$ из $- 32$ .

$- 44 + 52 \cdot 2 - 60$

Этап 1.3.9

Умножим $52$ на $2$ .

$- 44 + 104 - 60$

Этап 1.3.10

Добавим $- 44$ и $104$ .

$60 - 60$

Этап 1.3.11

Вычтем $60$ из $60$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 52 x - 60}{x - 2}$

Этап 1.5

Разделим $x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 52 x - 60$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{3}$
	$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{3}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			+	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - 2 x^{3}$ .

				$x^{3}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{3}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{3}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{3} + 8 x^{2}$ .

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 11 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

$11 x^{2}$

$22 x$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 11 x^{2} + 22 x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

$11 x^{2}$

$22 x$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

$11 x^{2}$

$22 x$

$30 x$

Этап 1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

$11 x^{2}$

$22 x$

$30 x$

$60$

Этап 1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $30 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$30$

$x$

$2$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$52 x$

$60$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x^{2}$

$52 x$

$11 x^{2}$

$22 x$

$30 x$

$60$

Этап 1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$	+	$52 x$
							+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
									+	$30 x$	-	$60$
									+	$30 x$	-	$60$

Этап 1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $30 x - 60$ .

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$	+	$52 x$
							+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
									+	$30 x$	-	$60$
									-	$30 x$	+	$60$

Этап 1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
$x$	-	$2$		$x^{4}$	-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$52 x$	-	$60$
			-	$x^{4}$	+	$2 x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$	+	$52 x$
							+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
									+	$30 x$	-	$60$
									-	$30 x$	+	$60$
												$0$

Этап 1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$

Этап 1.6

Запишем $x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 52 x - 60$ в виде набора множителей.

$(x - 2) (x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30)$

Этап 2

Разложим $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

Этап 2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Этап 2.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Этап 2.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Этап 2.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30$

Этап 2.3.4

Умножим $- 4$ на $4$ .

$8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30$

Этап 2.3.5

Вычтем $16$ из $8$ .

$- 8 - 11 \cdot 2 + 30$

Этап 2.3.6

Умножим $- 11$ на $2$ .

$- 8 - 22 + 30$

Этап 2.3.7

Вычтем $22$ из $- 8$ .

$- 30 + 30$

Этап 2.3.8

Добавим $- 30$ и $30$ .

$0$

Этап 2.4

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}$

Этап 2.5

Разделим $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$30$

Этап 2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$

Этап 2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

Этап 2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

Этап 2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Этап 2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} + 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Этап 2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$

Этап 2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$

Этап 2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 15 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$

Этап 2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							-	$15 x$	+	$30$

Этап 2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 15 x + 30$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$

Этап 2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$
										$0$

Этап 2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 2 x - 15$

Этап 2.6

Запишем $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ в виде набора множителей.

$(x - 2) ((x - 2) (x^{2} - 2 x - 15))$

Этап 3

Разложим $x^{2} - 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $- 2$ .

$- 5, 3$

Этап 3.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) ((x - 2) ((x - 5) (x + 3)))$

Этап 3.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 2) ((x - 2) (x - 5) (x + 3))$

Этап 3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 2) (x - 2) (x - 5) (x + 3)$

Этап 4

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

${(x - 2)}^{1} (x - 2) (x - 5) (x + 3)$

Этап 4.2

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

${(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1} (x - 5) (x + 3)$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x - 2)}^{1 + 1} (x - 5) (x + 3)$

Этап 4.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(x - 2)}^{2} (x - 5) (x + 3)$