Алгебра Примеры

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \log_{5} (405) + \frac{3}{4} (- \log_{5} (5))$

Этап 1.1.2

Объединим $\frac{3}{4}$ и $\log_{5} (405)$ .

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} + \frac{3}{4} (- \log_{5} (5))$

Этап 1.1.3

Объединим $\frac{3}{4}$ и $\log_{5} (5)$ .

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$

Этап 2

Каждый член в $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ умножим на $4$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ на $4$ .

$\log_{5} (3 k + 12) \cdot 4 = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $4$ влево от $\log_{5} (3 k + 12)$ .

$4 \log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Этап 2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ в числитель.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) + \frac{- 3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) + \frac{- 3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) - 3 \log_{5} (5)$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $4 \log_{5} (3 k + 12)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = 3 \log_{5} (405) - 3 \log_{5} (5)$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим $3 \log_{5} (405)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (405^{3}) - 3 \log_{5} (5)$

Этап 4.1.2

Возведем $405$ в степень $3$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3 \log_{5} (5)$

Этап 4.1.3

Логарифм $5$ по основанию $5$ равен $1$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3$

Этап 5

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) - \log_{5} (66430125) = - 3$

Этап 6

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 k + 12)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $3$ из $3 k + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 k$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 (k) + 12)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 k + 3 \cdot 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 k + 3 \cdot 4$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 (k + 4))}^{4}}{66430125}) = - 3$

Этап 7.2

Применим правило умножения к $3 (k + 4)$ .

$\log_{5} (\frac{3^{4} {(k + 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Этап 7.3

Возведем $3$ в степень $4$ .

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Этап 8

Сократим общий множитель $81$ и $66430125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $81$ из $81 {(k + 4)}^{4}$ .

$\log_{5} (\frac{81 ({(k + 4)}^{4})}{66430125}) = - 3$

Этап 8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $81$ из $66430125$ .

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{81 \cdot 820125}) = - 3$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель.

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{81 \cdot 820125}) = - 3$

Этап 8.2.3

Перепишем это выражение.

$\log_{5} (\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}) = - 3$

Этап 9

Перепишем $\log_{5} (\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}) = - 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$5^{- 3} = \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}$

Этап 10

Решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 5^{- 3}$ .

$\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 5^{- 3}$

Этап 10.2

Умножим обе части уравнения на $820125$ .

$820125 \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

Этап 10.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1

Сократим общий множитель $820125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$820125 \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

Этап 10.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

Этап 10.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим $820125 \cdot 5^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot \frac{1}{5^{3}}$

Этап 10.3.2.1.2

Возведем $5$ в степень $3$ .

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot \frac{1}{125}$

Этап 10.3.2.1.3

Сократим общий множитель $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.3.1

Вынесем множитель $125$ из $820125$ .

${(k + 4)}^{4} = 125 (6561) \cdot \frac{1}{125}$

Этап 10.3.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

${(k + 4)}^{4} = 125 \cdot 6561 \cdot \frac{1}{125}$

Этап 10.3.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

${(k + 4)}^{4} = 6561$

Этап 10.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$k + 4 = \pm \sqrt[4]{6561}$

Этап 10.5

Упростим $\pm \sqrt[4]{6561}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Перепишем $6561$ в виде $9^{4}$ .

$k + 4 = \pm \sqrt[4]{9^{4}}$

Этап 10.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$k + 4 = \pm 9$

Этап 10.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$k + 4 = 9$

Этап 10.6.2

Перенесем все члены без $k$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$k = 9 - 4$

Этап 10.6.2.2

Вычтем $4$ из $9$ .

$k = 5$

Этап 10.6.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$k + 4 = - 9$

Этап 10.6.4

Перенесем все члены без $k$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.4.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$k = - 9 - 4$

Этап 10.6.4.2

Вычтем $4$ из $- 9$ .

$k = - 13$

Этап 10.6.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$k = 5, - 13$

Этап 11

Исключим решения, которые не делают $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$ истинным.

$k = 5$