Алгебра Примеры

$\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$

Этап 1

Умножим $\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$ на $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$ на $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 - {\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{20}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем $(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (5 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}$

Этап 3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Этап 3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- \sqrt{5}$ на $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Этап 3.2.1.3

Перенесем $5$ влево от $\sqrt{5}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Этап 3.2.1.4

Умножим $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{20}$

Этап 3.2.1.4.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{20}$

Этап 3.2.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{20}$

Этап 3.2.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{20}$

Этап 3.2.1.5

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20}$

Этап 3.2.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20}$

Этап 3.2.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}$

Этап 3.2.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}$

Этап 3.2.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{1}}{20}$

Этап 3.2.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{20}$

Этап 3.2.1.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5}{20}$

Этап 3.2.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}}{20}$

Этап 3.2.3

Вычтем $\sqrt{5}$ из $0$ .

$\frac{- \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}}{20}$

Этап 3.2.4

Добавим $- \sqrt{5}$ и $5 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{20}$

Этап 4

Сократим общий множитель $4$ и $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 (\sqrt{5})}{20}$

Этап 4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 5}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 5}$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Десятичная форма:

$0.44721359 \dots$