Алгебра Примеры

$f (x) = \arcsin (\sin (x))$

Этап 1

Зададим аргумент в $\arcsin (\sin (x))$ большим или равным $- 1$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\sin (x) \geq - 1$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x \geq \arcsin (- 1)$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x \geq - \frac{π}{2}$

Этап 2.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 2.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 2.4.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 2.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 2.6.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 2.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.8

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

Этап 2.10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Проверим значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 2.10.1.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\sin (8) \geq - 1$

Этап 2.10.1.3

Левая часть $0.98935824$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.10.2

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Истина

Этап 2.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Зададим аргумент в $\arcsin (\sin (x))$ меньшим или равным $1$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\sin (x) \leq 1$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x \leq \arcsin (1)$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x \leq \frac{π}{2}$

Этап 4.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 4.4

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 4.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 4.4.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 4.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

Этап 4.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 4.8.1.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\sin (5) \leq 1$

Этап 4.8.1.3

Левая часть $- 0.95892427$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.8.2

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Истина

Этап 4.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Обозначение построения множества:

${x | x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, x = \frac{7 π}{2} + 2 π n, x = \frac{π}{2} + 2 π n, x = \frac{5 π}{2} + 2 π n}$ , для любого целого $n$

Этап 6

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Обозначение построения множества:

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Этап 7

Определим область определения и множество значений.

Область определения: ${x | x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, x = \frac{7 π}{2} + 2 π n, x = \frac{π}{2} + 2 π n, x = \frac{5 π}{2} + 2 π n}$ , для любого целого $n$

Диапазон: $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Этап 8