Алгебра Примеры

$x^{2} + y^{2} = 25$ $x^{2} = 5 - y$

Этап 1

Решим относительно $x$ в $x^{2} = 5 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{5 - y}$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Этап 1.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{5 - y}$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Этап 1.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{5 - y}$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Этап 1.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{5 - y}$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$x^{2} + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$x^{2} + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Этап 2

Решим систему $x = \sqrt{5 - y}, x^{2} + y^{2} = 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ на $\sqrt{5 - y}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим все вхождения $x$ в $x^{2} + y^{2} = 25$ на $\sqrt{5 - y}$ .

${(\sqrt{5 - y})}^{2} + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

Этап 2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем ${\sqrt{5 - y}}^{2}$ в виде $5 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 - y}$ в виде ${(5 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

Этап 2.1.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

Этап 2.1.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

${(5 - y)}^{\frac{2}{2}} + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

Этап 2.1.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

${(5 - y)}^{\frac{2}{2}} + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

Этап 2.1.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$(5 - y) + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

$(5 - y) + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

Этап 2.1.2.1.5

Упростим.

$5 - y + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

$5 - y + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

$5 - y + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

$5 - y + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

Этап 2.2

Решим относительно $y$ в $5 - y + y^{2} = 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$5 - y + y^{2} - 25 = 0$

$x = \sqrt{5 - y}$

Этап 2.2.2

Вычтем $25$ из $5$ .

$- y + y^{2} - 20 = 0$

$x = \sqrt{5 - y}$

Этап 2.2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Пусть $u = y$ . Подставим $u$ вместо $y$ для всех.

$- u + u^{2} - 20 = 0$

$x = \sqrt{5 - y}$

Этап 2.2.3.2

Разложим $- u + u^{2} - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $- 1$ .

$- 5, 4$

$x = \sqrt{5 - y}$

Этап 2.2.3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 5) (u + 4) = 0$

$x = \sqrt{5 - y}$

$(u - 5) (u + 4) = 0$

$x = \sqrt{5 - y}$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$(y - 5) (y + 4) = 0$

$x = \sqrt{5 - y}$

$(y - 5) (y + 4) = 0$

$x = \sqrt{5 - y}$

Этап 2.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 5 = 0$

$y + 4 = 0$

$x = \sqrt{5 - y}$

Этап 2.2.5

Приравняем $y - 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Приравняем $y - 5$ к $0$ .

$y - 5 = 0$

$x = \sqrt{5 - y}$

Этап 2.2.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = 5$

$x = \sqrt{5 - y}$

$y = 5$

$x = \sqrt{5 - y}$

Этап 2.2.6

Приравняем $y + 4$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Приравняем $y + 4$ к $0$ .

$y + 4 = 0$

$x = \sqrt{5 - y}$

Этап 2.2.6.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$y = - 4$

$x = \sqrt{5 - y}$

$y = - 4$

$x = \sqrt{5 - y}$

Этап 2.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 5) (y + 4) = 0$ верно.

$y = 5, - 4$

$x = \sqrt{5 - y}$

$y = 5, - 4$

$x = \sqrt{5 - y}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $y$ на $5$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \sqrt{5 - y}$ на $5$ .

$x = \sqrt{5 - (5)}$

$y = 5$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим $\sqrt{5 - (5)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$x = \sqrt{5 - 5}$

$y = 5$

Этап 2.3.2.1.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$x = \sqrt{0}$

$y = 5$

Этап 2.3.2.1.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \sqrt{0^{2}}$

$y = 5$

Этап 2.3.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = 0$

$y = 5$

$x = 0$

$y = 5$

$x = 0$

$y = 5$

$x = 0$

$y = 5$

Этап 2.4

Заменим все вхождения $y$ на $- 4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \sqrt{5 - y}$ на $- 4$ .

$x = \sqrt{5 - (- 4)}$

$y = - 4$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим $\sqrt{5 - (- 4)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$x = \sqrt{5 + 4}$

$y = - 4$

Этап 2.4.2.1.2

Добавим $5$ и $4$ .

$x = \sqrt{9}$

$y = - 4$

Этап 2.4.2.1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \sqrt{3^{2}}$

$y = - 4$

Этап 2.4.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

Этап 3

Решим систему $x = - \sqrt{5 - y}, x^{2} + y^{2} = 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим все вхождения $x$ на $- \sqrt{5 - y}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим все вхождения $x$ в $x^{2} + y^{2} = 25$ на $- \sqrt{5 - y}$ .

${(- \sqrt{5 - y})}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{5 - y}$ .

${(- 1)}^{2} {\sqrt{5 - y}}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.1.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {\sqrt{5 - y}}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.1.2.1.3

Умножим ${\sqrt{5 - y}}^{2}$ на $1$ .

${\sqrt{5 - y}}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.1.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{5 - y}}^{2}$ в виде $5 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 - y}$ в виде ${(5 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.1.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.1.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

${(5 - y)}^{\frac{2}{2}} + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.1.2.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

${(5 - y)}^{\frac{2}{2}} + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.1.2.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$(5 - y) + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$(5 - y) + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.1.2.1.4.5

Упростим.

$5 - y + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$5 - y + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$5 - y + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$5 - y + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$5 - y + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.2

Решим относительно $y$ в $5 - y + y^{2} = 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$5 - y + y^{2} - 25 = 0$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.2.2

Вычтем $25$ из $5$ .

$- y + y^{2} - 20 = 0$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Пусть $u = y$ . Подставим $u$ вместо $y$ для всех.

$- u + u^{2} - 20 = 0$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.2.3.2

Разложим $- u + u^{2} - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

$- 5, 4$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.2.3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 5) (u + 4) = 0$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$(u - 5) (u + 4) = 0$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$(y - 5) (y + 4) = 0$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$(y - 5) (y + 4) = 0$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 5 = 0$

$y + 4 = 0$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.2.5

Приравняем $y - 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Приравняем $y - 5$ к $0$ .

$y - 5 = 0$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.2.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = 5$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$y = 5$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.2.6

Приравняем $y + 4$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Приравняем $y + 4$ к $0$ .

$y + 4 = 0$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.2.6.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$y = - 4$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$y = - 4$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 5) (y + 4) = 0$ верно.

$y = 5, - 4$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$y = 5, - 4$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $y$ на $5$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = - \sqrt{5 - y}$ на $5$ .

$x = - \sqrt{5 - (5)}$

$y = 5$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим $- \sqrt{5 - (5)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$x = - \sqrt{5 - 5}$

$y = 5$

Этап 3.3.2.1.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$x = - \sqrt{0}$

$y = 5$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = - \sqrt{0^{2}}$

$y = 5$

Этап 3.3.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = - 0$

$y = 5$

Этап 3.3.2.1.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$x = 0$

$y = 5$

$x = 0$

$y = 5$

$x = 0$

$y = 5$

$x = 0$

$y = 5$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $y$ на $- 4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = - \sqrt{5 - y}$ на $- 4$ .

$x = - \sqrt{5 - (- 4)}$

$y = - 4$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $- \sqrt{5 - (- 4)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$x = - \sqrt{5 + 4}$

$y = - 4$

Этап 3.4.2.1.2

Добавим $5$ и $4$ .

$x = - \sqrt{9}$

$y = - 4$

Этап 3.4.2.1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = - \sqrt{3^{2}}$

$y = - 4$

Этап 3.4.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = - 1 \cdot 3$

$y = - 4$

Этап 3.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

Этап 4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 5)$

$(3, - 4)$

$(- 3, - 4)$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(0, 5), (3, - 4), (- 3, - 4)$

Форма уравнения:

$x = 0, y = 5$

$x = 3, y = - 4$

$x = - 3, y = - 4$

Этап 6