Алгебра Примеры

$f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ в виде уравнения.

$y = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt[3]{5^{y}} + 9$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{5^{y}} + 9 = x$ .

$\sqrt[3]{5^{y}} + 9 = x$

Этап 3.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt[3]{5^{y}} = x - 9$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{5^{y}}}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{5^{y}}$ в виде $5^{\frac{y}{3}}$ .

${(5^{\frac{y}{3}})}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Перемножим экспоненты в ${(5^{\frac{y}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{\frac{y}{3} \cdot 3} = {(x - 9)}^{3}$

Этап 3.4.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$5^{\frac{y}{3} \cdot 3} = {(x - 9)}^{3}$

Этап 3.4.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$5^{y} = {(x - 9)}^{3}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(x - 9)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$5^{y} = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 9 + 3 x {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Умножим $- 9$ на $3$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 3 x {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.2

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 3 x \cdot 81 + {(- 9)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.3

Умножим $81$ на $3$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x + {(- 9)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.4

Возведем $- 9$ в степень $3$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (5^{y}) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$

Этап 3.5.2

Развернем $\ln (5^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$ на $\ln (5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$ на $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $\ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$ обратной к $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) - 729)}{\ln (5)}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 243 \cdot 9 - 729)}{\ln (5)}$

Этап 5.2.3.1.2

Умножим $243$ на $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 2187 - 729)}{\ln (5)}$

Этап 5.2.3.2

Вычтем $729$ из $2187$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 1458)}{\ln (5)}$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{5^{\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}}} + 9$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Используем изменение основного правила $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{5^{\log_{5} (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}} + 9$

Этап 5.3.3.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729} + 9$

Этап 5.3.3.3

Сопоставим все члены с членами бинома Ньютона.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (9 x^{2}) + 3 \cdot (9^{2} x) - 1 \cdot 9^{3}} + 9$

Этап 5.3.3.4

Разложим $x^{3} - 3 \cdot 9 x^{2} + 3 \cdot 9^{2} x - 1 \cdot 9^{3}$ на множители с помощью бинома Ньютона.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{{(x - 9)}^{3}} + 9$

Этап 5.3.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x - 9 + 9$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 9 + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 9$ и $9$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$ — обратная к $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$