Алгебра Примеры

$f (x) = 2 \cdot \cos (\frac{8}{3} x)$

Этап 1

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 2$

$b = \frac{8}{3}$

$c = 0$

$d = 0$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $2$

Этап 3

Найдем период $2 \cos (\frac{8 x}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2

Заменим $b$ на $\frac{8}{3}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{8}{3} |}$

Этап 3.3

$\frac{8}{3}$ приблизительно равно $2.\overline{6}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{8}{3}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{3}{8}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$2 (π) \frac{3}{8}$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (π) \frac{3}{2 (4)}$

Этап 3.5.3

Сократим общий множитель.

$2 π \frac{3}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.4

Перепишем это выражение.

$π \frac{3}{4}$

Этап 3.6

Объединим $π$ и $\frac{3}{4}$ .

$\frac{π \cdot 3}{4}$

Этап 3.7

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{\frac{8}{3}}$

Этап 4.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $0 (\frac{3}{8})$

Этап 4.4

Умножим $0$ на $\frac{3}{8}$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $2$

Период: $\frac{3 π}{4}$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 \cos (\frac{8 (0)}{3})$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $8 (0)$ .

$f (0) = 2 \cos (\frac{3 (8 \cdot (0))}{3})$

Этап 6.1.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (0) = 2 \cos (\frac{3 (8 \cdot (0))}{3 (1)})$

Этап 6.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (0) = 2 \cos (\frac{3 (8 \cdot (0))}{3 \cdot 1})$

Этап 6.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (0) = 2 \cos (\frac{8 \cdot (0)}{1})$

Этап 6.1.2.1.2.4

Разделим $8 \cdot (0)$ на $1$ .

$f (0) = 2 \cos (8 \cdot (0))$

Этап 6.1.2.2

Умножим $8$ на $0$ .

$f (0) = 2 \cos (0)$

Этап 6.1.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1$

Этап 6.1.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f (0) = 2$

Этап 6.1.2.5

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = \frac{3 π}{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{16}$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{8 (\frac{3 π}{16})}{3})$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Объединим $8$ и $\frac{3 π}{16}$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (3 π)}{16}}{3})$

Этап 6.2.2.2

Умножим $8$ на $3$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{24 π}{16}}{3})$

Этап 6.2.2.3

Сократим выражение $\frac{24 π}{16}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Вынесем множитель $8$ из $24 π$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (3 π)}{16}}{3})$

Этап 6.2.2.3.2

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (3 π)}{8 (2)}}{3})$

Этап 6.2.2.3.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (3 π)}{8 \cdot 2}}{3})$

Этап 6.2.2.3.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})$

Этап 6.2.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 6.2.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 6.2.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 6.2.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.6

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = 2 \cdot 0$

Этап 6.2.2.7

Умножим $2$ на $0$ .

$f (\frac{3 π}{16}) = 0$

Этап 6.2.2.8

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = \frac{3 π}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{8}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cos (\frac{8 (\frac{3 π}{8})}{3})$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Объединим $8$ и $\frac{3 π}{8}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (3 π)}{8}}{3})$

Этап 6.3.2.2

Умножим $8$ на $3$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cos (\frac{\frac{24 π}{8}}{3})$

Этап 6.3.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Сократим выражение $\frac{24 π}{8}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1.1

Вынесем множитель $8$ из $24 π$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (3 π)}{8}}{3})$

Этап 6.3.2.3.1.2

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (3 π)}{8 (1)}}{3})$

Этап 6.3.2.3.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (3 π)}{8 \cdot 1}}{3})$

Этап 6.3.2.3.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cos (\frac{\frac{3 π}{1}}{3})$

Этап 6.3.2.3.2

Разделим $3 π$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

Этап 6.3.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

Этап 6.3.2.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cos (π)$

Этап 6.3.2.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (- \cos (0))$

Этап 6.3.2.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 6.3.2.7

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cdot - 1$

Этап 6.3.2.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 2$

Этап 6.3.2.8

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{9 π}{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{9 π}{16}$ .

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{8 (\frac{9 π}{16})}{3})$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Объединим $8$ и $\frac{9 π}{16}$ .

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (9 π)}{16}}{3})$

Этап 6.4.2.2

Умножим $8$ на $9$ .

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{72 π}{16}}{3})$

Этап 6.4.2.3

Сократим выражение $\frac{72 π}{16}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Вынесем множитель $8$ из $72 π$ .

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (9 π)}{16}}{3})$

Этап 6.4.2.3.2

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (9 π)}{8 (2)}}{3})$

Этап 6.4.2.3.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (9 π)}{8 \cdot 2}}{3})$

Этап 6.4.2.3.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})$

Этап 6.4.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 6.4.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 6.4.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 6.4.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 6.4.2.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{9 π}{16}) = 2 \cdot 0$

Этап 6.4.2.8

Умножим $2$ на $0$ .

$f (\frac{9 π}{16}) = 0$

Этап 6.4.2.9

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{8 (\frac{3 π}{4})}{3})$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Объединим $8$ и $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{\frac{8 (3 π)}{4}}{3})$

Этап 6.5.2.2

Умножим $8$ на $3$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{\frac{24 π}{4}}{3})$

Этап 6.5.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Сократим выражение $\frac{24 π}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $24 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{\frac{4 (6 π)}{4}}{3})$

Этап 6.5.2.3.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{\frac{4 (6 π)}{4 (1)}}{3})$

Этап 6.5.2.3.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{\frac{4 (6 π)}{4 \cdot 1}}{3})$

Этап 6.5.2.3.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{\frac{6 π}{1}}{3})$

Этап 6.5.2.3.2

Разделим $6 π$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{6 π}{3})$

Этап 6.5.2.4

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3})$

Этап 6.5.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})$

Этап 6.5.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})$

Этап 6.5.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{2 π}{1})$

Этап 6.5.2.4.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (2 π)$

Этап 6.5.2.5

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (0)$

Этап 6.5.2.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cdot 1$

Этап 6.5.2.7

Умножим $2$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2$

Этап 6.5.2.8

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{3 π}{16} & 0 \\ \frac{3 π}{8} & - 2 \\ \frac{9 π}{16} & 0 \\ \frac{3 π}{4} & 2 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $2$

Период: $\frac{3 π}{4}$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{3 π}{16} & 0 \\ \frac{3 π}{8} & - 2 \\ \frac{9 π}{16} & 0 \\ \frac{3 π}{4} & 2 \end{array}$

Этап 8