Алгебра Примеры

$9 x^{4} - 2 x^{2} - 7 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$9 {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 7 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$9 u^{2} - 2 u - 7 = 0$

Этап 1.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot - 7 = - 63$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 u$ .

$9 u^{2} - 2 u - 7 = 0$

Этап 1.3.1.2

Запишем $- 2$ как $7$ плюс $- 9$

$9 u^{2} + (7 - 9) u - 7 = 0$

Этап 1.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 u^{2} + 7 u - 9 u - 7 = 0$

Этап 1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(9 u^{2} + 7 u) - 9 u - 7 = 0$

Этап 1.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (9 u + 7) - (9 u + 7) = 0$

Этап 1.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 u + 7$ .

$(9 u + 7) (u - 1) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(9 x^{2} + 7) (x^{2} - 1) = 0$

Этап 1.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(9 x^{2} + 7) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 1.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(9 x^{2} + 7) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 1.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(9 x^{2} + 7) (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$9 x^{2} + 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $9 x^{2} + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $9 x^{2} + 7$ к $0$ .

$9 x^{2} + 7 = 0$

Этап 3.2

Решим $9 x^{2} + 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$9 x^{2} = - 7$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $9 x^{2} = - 7$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $9 x^{2} = - 7$ на $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{- 7}{9}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{- 7}{9}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{9}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{7}{9}$

Этап 3.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{7}{9}}$

Этап 3.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{7}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Перепишем $- \frac{7}{9}$ в виде ${(\frac{i}{3})}^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{7}{9}}$

Этап 3.2.4.1.2

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $7$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{9}}$

Этап 3.2.4.1.3

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{3^{2} \cdot 1}}$

Этап 3.2.4.1.4

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} \cdot 7}{3^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{3})}^{2} \cdot 7)}$

Этап 3.2.4.1.5

Перепишем $i^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}$ в виде ${(\frac{i}{3})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{3})}^{2} \cdot 7}$

Этап 3.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm \frac{i}{3} \sqrt{7}$

Этап 3.2.4.3

Объединим $\frac{i}{3}$ и $\sqrt{7}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{7}}{3}$

Этап 3.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{3}$

Этап 3.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{7}}{3}$

Этап 3.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{3}, - \frac{i \sqrt{7}}{3}$

Этап 4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(9 x^{2} + 7) (x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{3}, - \frac{i \sqrt{7}}{3}, - 1, 1$