Алгебра Примеры

$3 x = 15 + 3 \sqrt{x + 1}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$15 + 3 \sqrt{x + 1} = 3 x$

Этап 2

Вычтем $15$ из обеих частей уравнения.

$3 \sqrt{x + 1} = 3 x - 15$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(3 \sqrt{x + 1})}^{2} = {(3 x - 15)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 15)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${(3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 15)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$9 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 15)}^{2}$

Этап 4.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 15)}^{2}$

Этап 4.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 15)}^{2}$

Этап 4.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$9 {(x + 1)}^{1} = {(3 x - 15)}^{2}$

Этап 4.2.1.4

Упростим.

$9 (x + 1) = {(3 x - 15)}^{2}$

Этап 4.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x + 9 \cdot 1 = {(3 x - 15)}^{2}$

Этап 4.2.1.6

Умножим $9$ на $1$ .

$9 x + 9 = {(3 x - 15)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(3 x - 15)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(3 x - 15)}^{2}$ в виде $(3 x - 15) (3 x - 15)$ .

$9 x + 9 = (3 x - 15) (3 x - 15)$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(3 x - 15) (3 x - 15)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x + 9 = 3 x (3 x - 15) - 15 (3 x - 15)$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x + 9 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x - 15)$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x + 9 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 x + 9 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15$

Этап 4.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$9 x + 9 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15$

Этап 4.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$9 x + 9 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15$

Этап 4.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$9 x + 9 = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 15 - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15$

Этап 4.3.1.3.1.4

Умножим $- 15$ на $3$ .

$9 x + 9 = 9 x^{2} - 45 x - 15 (3 x) - 15 \cdot - 15$

Этап 4.3.1.3.1.5

Умножим $3$ на $- 15$ .

$9 x + 9 = 9 x^{2} - 45 x - 45 x - 15 \cdot - 15$

Этап 4.3.1.3.1.6

Умножим $- 15$ на $- 15$ .

$9 x + 9 = 9 x^{2} - 45 x - 45 x + 225$

Этап 4.3.1.3.2

Вычтем $45 x$ из $- 45 x$ .

$9 x + 9 = 9 x^{2} - 90 x + 225$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 x^{2} - 90 x + 225 = 9 x + 9$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $9 x$ из обеих частей уравнения.

$9 x^{2} - 90 x + 225 - 9 x = 9$

Этап 5.2.2

Вычтем $9 x$ из $- 90 x$ .

$9 x^{2} - 99 x + 225 = 9$

Этап 5.3

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$9 x^{2} - 99 x + 225 - 9 = 0$

Этап 5.4

Вычтем $9$ из $225$ .

$9 x^{2} - 99 x + 216 = 0$

Этап 5.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2} - 99 x + 216$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2}$ .

$9 (x^{2}) - 99 x + 216 = 0$

Этап 5.5.1.2

Вынесем множитель $9$ из $- 99 x$ .

$9 (x^{2}) + 9 (- 11 x) + 216 = 0$

Этап 5.5.1.3

Вынесем множитель $9$ из $216$ .

$9 x^{2} + 9 (- 11 x) + 9 \cdot 24 = 0$

Этап 5.5.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2} + 9 (- 11 x)$ .

$9 (x^{2} - 11 x) + 9 \cdot 24 = 0$

Этап 5.5.1.5

Вынесем множитель $9$ из $9 (x^{2} - 11 x) + 9 \cdot 24$ .

$9 (x^{2} - 11 x + 24) = 0$

Этап 5.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разложим $x^{2} - 11 x + 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $24$ , а сумма — $- 11$ .

$- 8, - 3$

Этап 5.5.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$9 ((x - 8) (x - 3)) = 0$

Этап 5.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$9 (x - 8) (x - 3) = 0$

Этап 5.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 5.7

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 5.7.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 5.8

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.8.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $9 (x - 8) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 8, 3$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $3 x = 15 + 3 \sqrt{x + 1}$ истинным.

$x = 8$