Алгебра Примеры

$\sin (2 x) = 1$ , $0 \leq x < 2 π$

Этап 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Этап 3

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x = π - \frac{π}{2}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.1.2

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.1.4

Вычтем $π$ из $π \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $2$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 5.1.4.2

Вычтем $π$ из $2 \cdot π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 5.2.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 6

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 6.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 7

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Найдем значения $n$ , которые позволяют получить значение в интервале $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{π}{4} + π (0)$

Этап 8.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Умножим $π$ на $0$ .

$\frac{π}{4} + 0$

Этап 8.1.2.2

Добавим $\frac{π}{4}$ и $0$ .

$\frac{π}{4}$

Этап 8.1.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 8.2

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$\frac{π}{4} + π (1)$

Этап 8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{π}{4} + π$

Этап 8.2.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + π \cdot \frac{4}{4}$

Этап 8.2.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 4}{4}$

Этап 8.2.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π + π \cdot 4}{4}$

Этап 8.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{π + 4 \cdot π}{4}$

Этап 8.2.2.4.2

Добавим $π$ и $4 π$ .

$\frac{5 π}{4}$

Этап 8.2.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{5 π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$