Алгебра Примеры

$\log (3 x) + \log (x - 4) = \log (15)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (3 x (x - 4)) = \log (15)$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4) = \log (15)$

Этап 1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перенесем $x$ .

$\log (3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 4) = \log (15)$

Этап 1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x \cdot - 4) = \log (15)$

Этап 1.4

Умножим $- 4$ на $3$ .

$\log (3 x^{2} - 12 x) = \log (15)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$3 x^{2} - 12 x = 15$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $15$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} - 12 x - 15 = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 12 x - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x - 15 = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 15 = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $- 15$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 5 = 0$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 5 = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 5$ .

$3 (x^{2} - 4 x - 5) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разложим $x^{2} - 4 x - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $- 4$ .

$- 5, 1$

Этап 3.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$3 ((x - 5) (x + 1)) = 0$

Этап 3.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 (x - 5) (x + 1) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 3.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 (x - 5) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 5, - 1$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (3 x) + \log (x - 4) = \log (15)$ истинным.

$x = 5$