Алгебра Примеры

$\frac{2}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2} + 1, x, x$

Этап 1.2

Поскольку $x^{2} + 1, x, x$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $x^{2} + 1, x, x$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $x^{1}, x^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $x^{2} + 1$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.6

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $x^{1}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 1.8

Множителем $x^{2} + 1$ является само значение $x^{2} + 1$ .

$(x^{2} + 1) = x^{2} + 1$

$(x^{2} + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.9

НОК $x^{2} + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{2} + 1$

Этап 1.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$x (x^{2} + 1)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{2}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$ умножим на $x (x^{2} + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{2}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$ на $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2}{x^{2} + 1} (x (x^{2} + 1)) + \frac{1}{x} (x (x^{2} + 1)) = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2}{x^{2} + 1} ((x^{2} + 1) x) + \frac{1}{x} (x (x^{2} + 1)) = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x^{2} + 1} ((x^{2} + 1) x) + \frac{1}{x} (x (x^{2} + 1)) = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Этап 2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$2 x + \frac{1}{x} (x (x^{2} + 1)) = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 x + \frac{1}{x} (x (x^{2} + 1)) = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Этап 2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$2 x + x^{2} + 1 = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$2 x + x^{2} + 1 = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$2 x + x^{2} + 1 = 2 (x^{2} + 1)$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + x^{2} + 1 = 2 x^{2} + 2 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x + x^{2} + 1 = 2 x^{2} + 2$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x + x^{2} + 1 - 2 x^{2} = 2$

Этап 3.1.2

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$2 x - x^{2} + 1 = 2$

Этап 3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$2 x - x^{2} + 1 - 2 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 x - x^{2} - 1 = 0$

Этап 3.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x - x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Изменим порядок $2 x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x - 1 = 0$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 = 0$

Этап 3.4.1.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 3.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 3.4.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 2 x) - 1 (1)$ .

$- (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

Этап 3.4.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

Этап 3.4.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 3.4.2.3

Перепишем многочлен.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 3.4.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$- {(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 3.5

Разделим каждый член $- {(x - 1)}^{2} = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $- {(x - 1)}^{2} = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- {(x - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 3.5.2.2

Разделим ${(x - 1)}^{2}$ на $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.7

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$