Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} + 12 x + 27}{42 x - 6 x^{2}} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \div \frac{x^{2} + 8 x + 15}{100 - 4 x^{2}}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{x^{2} + 12 x + 27}{42 x - 6 x^{2}} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 2

Разложим $x^{2} + 12 x + 27$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $27$ , а сумма — $12$ .

$3, 9$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{42 x - 6 x^{2}} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 3

Вынесем множитель $6 x$ из $42 x - 6 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $6 x$ из $42 x$ .

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7) - 6 x^{2}} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $6 x$ из $- 6 x^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7) + 6 x (- x)} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x (7) + 6 x (- x)$ .

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{7^{2} - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 7$ и $b = x$ .

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 5

Разложим $x^{2} + 16 x + 63$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $63$ , а сумма — $16$ .

$7, 9$

Этап 5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{(x + 7) (x + 9)} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $x + 9$ из $(x + 3) (x + 9)$ .

$\frac{(x + 9) (x + 3)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{(x + 7) (x + 9)} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $x + 9$ из $(x + 7) (x + 9)$ .

$\frac{(x + 9) (x + 3)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{(x + 9) (x + 7)} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 6.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 9) (x + 3)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{(x + 9) (x + 7)} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 6.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 3}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{x + 7} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $7 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $7 - x$ из $6 x (7 - x)$ .

$\frac{x + 3}{(7 - x) (6 x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{x + 7} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $7 - x$ из $(7 + x) (7 - x)$ .

$\frac{x + 3}{(7 - x) (6 x)} \cdot \frac{(7 - x) (7 + x)}{x + 7} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 3}{(7 - x) (6 x)} \cdot \frac{(7 - x) (7 + x)}{x + 7} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 6.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{7 + x}{x + 7} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 6.3

Умножим $\frac{x + 3}{6 x}$ на $\frac{7 + x}{x + 7}$ .

$\frac{(x + 3) (7 + x)}{6 x (x + 7)} \cdot \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $7 + x$ и $x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{(x + 3) (x + 7)}{6 x (x + 7)} \cdot \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 6.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 3) (x + 7)}{6 x (x + 7)} \cdot \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 6.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $4$ из $100 - 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $4$ из $100$ .

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (25) - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (25) + 4 (- x^{2})}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (25) + 4 (- x^{2})$ .

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (25 - x^{2})}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 7.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (5^{2} - x^{2})}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 7.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 5$ и $b = x$ .

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (5 + x) (5 - x)}{x^{2} + 8 x + 15}$

Этап 8

Разложим $x^{2} + 8 x + 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $15$ , а сумма — $8$ .

$3, 5$

Этап 8.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (5 + x) (5 - x)}{(x + 3) (x + 5)}$

Этап 9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (5 + x) (5 - x)}{(x + 3) (x + 5)}$

Этап 9.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{6 x} \cdot \frac{4 (5 + x) (5 - x)}{x + 5}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$\frac{1}{2 (3 x)} \cdot \frac{4 (5 + x) (5 - x)}{x + 5}$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4 (5 + x) (5 - x)$ .

$\frac{1}{2 (3 x)} \cdot \frac{2 (2 (5 + x) (5 - x))}{x + 5}$

Этап 9.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 (3 x)} \cdot \frac{2 (2 (5 + x) (5 - x))}{x + 5}$

Этап 9.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3 x} \cdot \frac{2 (5 + x) (5 - x)}{x + 5}$

Этап 9.3

Умножим $\frac{1}{3 x}$ на $\frac{2 (5 + x) (5 - x)}{x + 5}$ .

$\frac{2 (5 + x) (5 - x)}{3 x (x + 5)}$

Этап 9.4

Сократим общий множитель $5 + x$ и $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{2 (x + 5) (5 - x)}{3 x (x + 5)}$

Этап 9.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x + 5) (5 - x)}{3 x (x + 5)}$

Этап 9.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (5 - x)}{3 x}$