Алгебра Примеры

$\frac{\sqrt{2} + 2}{2 - \sqrt{2}}$

Этап 1

Умножим $\frac{\sqrt{2} + 2}{2 - \sqrt{2}}$ на $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} + 2}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2} + 2}{2 - \sqrt{2}}$ на $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + 2) (2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{2} + 2) (2 + \sqrt{2})}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

$\frac{(\sqrt{2} + 2) (2 + \sqrt{2})}{2}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок членов.

$\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{2}$

Этап 3.2

Возведем $2 + \sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1} (2 + \sqrt{2})}{2}$

Этап 3.3

Возведем $2 + \sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1} {(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2}$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1 + 1}}{2}$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{2}}{2}$

Этап 4

Перепишем ${(2 + \sqrt{2})}^{2}$ в виде $(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ .

$\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{2}$

Этап 5

Развернем $(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Этап 6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Этап 6.1.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Этап 6.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

Этап 6.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}$

Этап 6.1.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}$

Этап 6.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2}{2}$

Этап 6.2

Добавим $4$ и $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 6.3

Добавим $2 \sqrt{2}$ и $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{6 + 4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7

Сократим общий множитель $6 + 4 \sqrt{2}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 3 + 4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3) + 2 (2 \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2}$

Этап 7.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Этап 7.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}$

Этап 7.4.4

Разделим $3 + 2 \sqrt{2}$ на $1$ .

$3 + 2 \sqrt{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$3 + 2 \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$5.82842712 \dots$