Алгебра Примеры

$\frac{x + 9}{x^{2} - 5 x + 6} \leq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 9 = 0$

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Этап 2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x = - 9$

Этап 3

Разложим $x^{2} - 5 x + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 3, - 2$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 3, 2$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 9$

$x = 3, 2$

Этап 9

Объединим решения.

$x = - 9, 3, 2$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{x + 9}{x^{2} - 5 x + 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 9}{x^{2} - 5 x + 6}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Разложим $x^{2} - 5 x + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

$- 3, - 2$

Этап 10.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Этап 10.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 10.2.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 10.2.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 10.2.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 10.2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 10.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 3, 2$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 9$

$- 9 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < - 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 12$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 12$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 12) + 9}{{(- 12)}^{2} - 5 \cdot - 12 + 6} \leq 0$

Этап 12.1.3

Левая часть $- 0.0\overline{142857}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $- 9 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $- 9 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) + 9}{{(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 6} \leq 0$

Этап 12.2.3

Левая часть $1.5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2.5$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $2.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{(2.5) + 9}{{(2.5)}^{2} - 5 \cdot 2.5 + 6} \leq 0$

Этап 12.3.3

Левая часть $- 46$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(6) + 9}{{(6)}^{2} - 5 \cdot 6 + 6} \leq 0$

Этап 12.4.3

Левая часть $1.25$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 9$ Истина

$- 9 < x < 2$ Ложь

$2 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 9$ Истина

$- 9 < x < 2$ Ложь

$2 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 9$ или $2 < x < 3$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - 9 or 2 < x < 3$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 9] \cup (2, 3)$

Этап 15