Алгебра Примеры

$\sqrt[7]{\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}}} = 5$

Этап 1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $7$ .

${\sqrt[7]{\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}}}}^{7} = 5^{7}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}}}$ в виде ${(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7}}$ .

${({(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 5^{7}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 5^{7}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 5^{7}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{1} = 5^{7}$

Этап 2.2.1.2

Возведем $5$ в степень $16$ .

${(\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{1} = 5^{7}$

Этап 2.2.1.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

${(\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 25})}^{1} = 5^{7}$

Этап 2.2.1.4

Упростим.

$\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 25} = 5^{7}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $5$ в степень $7$ .

$\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 25} = 78125$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части на $5^{x} + 25$ .

$\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 25} (5^{x} + 25) = 78125 (5^{x} + 25)$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $5^{x} + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 25} (5^{x} + 25) = 78125 (5^{x} + 25)$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$152587890625 + 5^{x} = 78125 (5^{x} + 25)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $78125 (5^{x} + 25)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$152587890625 + 5^{x} = 78125 \cdot 5^{x} + 78125 \cdot 25$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $78125 \cdot 5^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Перепишем $78125$ в виде $5^{7}$ .

$152587890625 + 5^{x} = 5^{7} \cdot 5^{x} + 78125 \cdot 25$

Этап 3.2.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$152587890625 + 5^{x} = 5^{7 + x} + 78125 \cdot 25$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $78125$ на $25$ .

$152587890625 + 5^{x} = 5^{7 + x} + 1953125$

Этап 3.2.2.1.4

Изменим порядок $7$ и $x$ .

$152587890625 + 5^{x} = 5^{x + 7} + 1953125$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем $5^{x}$ из выражения.

$5^{x} (1 - 78125)$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $152587890625$ из обеих частей уравнения.

$5^{x} = 5^{x + 7} + 1953125 - 152587890625$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $152587890625$ из $1953125$ .

$5^{x} = 5^{x + 7} - 152585937500$

Этап 3.3.3

Вычтем $5^{x + 7}$ из обеих частей уравнения.

$5^{x} - 5^{x + 7} = - 152585937500$

Этап 3.3.4

Вычтем $78125$ из $1$ .

$5^{x} \cdot - 78124 = - 152585937500$

Этап 3.3.5

Перенесем $- 78124$ влево от $5^{x}$ .

$- 78124 \cdot 5^{x} = - 152585937500$

Этап 3.3.6

Разделим каждый член $- 78124 \cdot 5^{x} = - 152585937500$ на $- 78124$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Разделим каждый член $- 78124 \cdot 5^{x} = - 152585937500$ на $- 78124$ .

$\frac{- 78124 \cdot 5^{x}}{- 78124} = \frac{- 152585937500}{- 78124}$

Этап 3.3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.1

Сократим общий множитель $- 78124$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 78124 \cdot 5^{x}}{- 78124} = \frac{- 152585937500}{- 78124}$

Этап 3.3.6.2.1.2

Разделим $5^{x}$ на $1$ .

$5^{x} = \frac{- 152585937500}{- 78124}$

Этап 3.3.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.3.1

Разделим $- 152585937500$ на $- 78124$ .

$5^{x} = 1953125$

Этап 3.3.7

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$5^{x} = 5^{9}$

Этап 3.3.8

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 9$