Алгебра Примеры

$\frac{m - 3 n}{m^{3} - n^{3}} - \frac{2 n}{n^{3} - m^{3}}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = m$ и $b = n$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{n^{3} - m^{3}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = n$ и $b = m$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{(n - m) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Этап 2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $n$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{(- 1 (- n) - m) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- m$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{(- 1 (- n) - (m)) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- n) - (m)$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{- 1 (- n + m) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Этап 2.4

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (n^{2} + n m + m^{2})}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n) \cdot - 1$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(m - 3 n) \cdot - 1}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n) \cdot - 1} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в $(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n) \cdot - 1$ .

$\frac{(m - 3 n) \cdot - 1}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(m - 3 n) \cdot - 1 - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{m \cdot - 1 - 3 n \cdot - 1 - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Этап 6.2

Перенесем $- 1$ влево от $m$ .

$\frac{- 1 \cdot m - 3 n \cdot - 1 - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Этап 6.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{- 1 \cdot m + 3 n - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Этап 6.4

Перепишем $- 1 m$ в виде $- m$ .

$\frac{- m + 3 n - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Этап 6.5

Вычтем $2 n$ из $3 n$ .

$\frac{- m + n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Этап 7

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $- m + n$ и $m - n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- m$ .

$\frac{- (m) + n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $n$ .

$\frac{- (m) - 1 (- n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (m) - 1 (- n)$ .

$\frac{- (m - n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Этап 7.1.4

Перепишем $- (m - n)$ в виде $- 1 (m - n)$ .

$\frac{- 1 (m - n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Этап 7.1.5

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (m - n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Этап 7.1.6

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{- (m^{2} + n^{2} + m n)}$

Этап 7.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{1}{m^{2} + n^{2} + m n}$