Алгебра Примеры

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{6} - \sqrt{8}}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{6} - \sqrt{4 (2)}}$

Этап 1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{6} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{6} - (2 \sqrt{2})}$

Этап 1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{6} - 2 \sqrt{2}}$

Этап 2

Умножим $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{6} - 2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{6} + 2 \sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{6} - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} + 2 \sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2 \sqrt{2}}$

Этап 3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{6} - 2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{6} + 2 \sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{6}) (\sqrt{6} + 2 \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + 2 \sqrt{2})}$

Этап 3.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{6}) (\sqrt{6} + 2 \sqrt{2})}{{\sqrt{6}}^{2} + 2 \sqrt{12} - 2 \sqrt{12} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{6}) (\sqrt{6} + 2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 4

Развернем $(\sqrt{2} - \sqrt{6}) (\sqrt{6} + 2 \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + 2 \sqrt{2}) - \sqrt{6} (\sqrt{6} + 2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - \sqrt{6} (\sqrt{6} + 2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.2

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{\sqrt{12} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.3

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.5

Умножим $\sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) - \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.5.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) - \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} - \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 {\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 \cdot 2^{1} - \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 \cdot 2 - \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.7

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 - \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.8

Умножим $- \sqrt{6} \sqrt{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 - ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.8.2

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 - ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 - {\sqrt{6}}^{1 + 1} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.8.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 - {\sqrt{6}}^{2} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.9

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 - 6^{\frac{2}{2}} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 - 6^{\frac{2}{2}} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.9.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 - 6^{1} - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.9.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 - 1 \cdot 6 - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.10

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 - 6 - \sqrt{6} (2 \sqrt{2})}{- 2}$

Этап 5.1.11

Умножим $- \sqrt{6} (2 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.11.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 - 6 - 2 \sqrt{6} \sqrt{2}}{- 2}$

Этап 5.1.11.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 - 6 - 2 \sqrt{2 \cdot 6}}{- 2}$

Этап 5.1.11.3

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 - 6 - 2 \sqrt{12}}{- 2}$

Этап 5.1.12

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.12.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 - 6 - 2 \sqrt{4 (3)}}{- 2}$

Этап 5.1.12.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 - 6 - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{- 2}$

Этап 5.1.13

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 - 6 - 2 (2 \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 5.1.14

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 - 6 - 4 \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 5.2

Вычтем $4 \sqrt{3}$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 - 6 - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 5.3

Вычтем $6$ из $4$ .

$\frac{- 2 - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 6

Сократим общий множитель $- 2 - 2 \sqrt{3}$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (- 1) - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (- 1) + 2 (- \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 1) + 2 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (- 1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 6.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 - \sqrt{3})$

Этап 7

Перепишем $- 1 \cdot (- 1 - \sqrt{3})$ в виде $- (- 1 - \sqrt{3})$ .

$- (- 1 - \sqrt{3})$

Этап 8

Применим свойство дистрибутивности.

$- - 1 - - \sqrt{3}$

Этап 9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - - \sqrt{3}$

Этап 10

Умножим $- - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 + 1 \sqrt{3}$

Этап 10.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$1 + \sqrt{3}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$1 + \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$2.73205080 \dots$