Алгебра Примеры

$\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) - 1 = 0$

Этап 1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

Этап 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = \pm \sqrt{1}$

Этап 3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = \pm 1$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

Этап 4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$

Этап 4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1, - 1$

Этап 5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$

Этап 6

Решим относительно $x$ в $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \arccos (1)$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 0$

Этап 6.3

Вычтем $\frac{π}{3}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{3}$

Этап 6.4

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

Этап 6.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

Этап 6.5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (- \frac{π}{3})$

Этап 6.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Упростим $2 (- \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Умножим $2 (- \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x = - 2 \frac{π}{3}$

Этап 6.5.2.1.1.2

Объединим $- 2$ и $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{- 2 π}{3}$

Этап 6.5.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2 π}{3}$

Этап 6.6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π - 0$

Этап 6.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π$

Этап 6.7.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Вычтем $\frac{π}{3}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 6.7.2.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.7.2.3

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.7.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 6.7.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 6.7.2.5.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{3}$

Этап 6.7.3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{3}$

Этап 6.7.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{3}$

Этап 6.7.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{5 π}{3}$

Этап 6.7.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.4.2.1

Умножим $2 \frac{5 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.4.2.1.1

Объединим $2$ и $\frac{5 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (5 π)}{3}$

Этап 6.7.4.2.1.2

Умножим $5$ на $2$ .

$x = \frac{10 π}{3}$

Этап 6.8

Найдем период $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.8.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 6.8.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 6.8.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 6.8.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 6.9

Добавим $4 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Добавим $4 π$ к $- \frac{2 π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{2 π}{3} + 4 π$

Этап 6.9.2

Чтобы записать $4 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 6.9.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.3.1

Объединим $4 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 6.9.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 6.9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.4.1

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12 π - 2 π}{3}$

Этап 6.9.4.2

Вычтем $2 π$ из $12 π$ .

$\frac{10 π}{3}$

Этап 6.9.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{10 π}{3}$

Этап 6.10

Период функции $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \arccos (- 1)$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π$

Этап 7.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вычтем $\frac{π}{3}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{3}$

Этап 7.3.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.3.3

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 7.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 7.3.5.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Этап 7.4

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Этап 7.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Этап 7.5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{2 π}{3}$

Этап 7.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Умножим $2 \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.1

Объединим $2$ и $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3}$

Этап 7.5.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 7.6

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π - π$

Этап 7.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π$

Этап 7.7.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.1

Вычтем $\frac{π}{3}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{3}$

Этап 7.7.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.7.2.3

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.7.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 7.7.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.5.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 7.7.2.5.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Этап 7.7.3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Этап 7.7.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

Этап 7.7.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{2 π}{3}$

Этап 7.7.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.4.2.1

Умножим $2 \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.4.2.1.1

Объединим $2$ и $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3}$

Этап 7.7.4.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 7.8

Найдем период $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.8.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 7.8.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 7.8.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 7.8.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 7.9

$x = \frac{4 π}{3} + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Перечислим все решения.

$x = \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{4 π}{3} + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$