Алгебра Примеры

$\frac{x + 3}{x + 4} - \frac{2}{x + 4} = \frac{3}{x - 4}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 4, x + 4, x - 4$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x + 4$ является само значение $x + 4$ .

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $x - 4$ является само значение $x - 4$ .

$(x - 4) = x - 4$

$(x - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $x + 4, x + 4, x - 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 4) (x - 4)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{x + 3}{x + 4} - \frac{2}{x + 4} = \frac{3}{x - 4}$ умножим на $(x + 4) (x - 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{x + 3}{x + 4} - \frac{2}{x + 4} = \frac{3}{x - 4}$ на $(x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{x + 3}{x + 4} ((x + 4) (x - 4)) - \frac{2}{x + 4} ((x + 4) (x - 4)) = \frac{3}{x - 4} ((x + 4) (x - 4))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 3}{x + 4} ((x + 4) (x - 4)) - \frac{2}{x + 4} ((x + 4) (x - 4)) = \frac{3}{x - 4} ((x + 4) (x - 4))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(x + 3) (x - 4) - \frac{2}{x + 4} ((x + 4) (x - 4)) = \frac{3}{x - 4} ((x + 4) (x - 4))$

Этап 2.2.1.2

Развернем $(x + 3) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 4) + 3 (x - 4) - \frac{2}{x + 4} ((x + 4) (x - 4)) = \frac{3}{x - 4} ((x + 4) (x - 4))$

Этап 2.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 (x - 4) - \frac{2}{x + 4} ((x + 4) (x - 4)) = \frac{3}{x - 4} ((x + 4) (x - 4))$

Этап 2.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 x + 3 \cdot - 4 - \frac{2}{x + 4} ((x + 4) (x - 4)) = \frac{3}{x - 4} ((x + 4) (x - 4))$

Этап 2.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 4 + 3 x + 3 \cdot - 4 - \frac{2}{x + 4} ((x + 4) (x - 4)) = \frac{3}{x - 4} ((x + 4) (x - 4))$

Этап 2.2.1.3.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$x^{2} - 4 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 4 - \frac{2}{x + 4} ((x + 4) (x - 4)) = \frac{3}{x - 4} ((x + 4) (x - 4))$

Этап 2.2.1.3.1.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$x^{2} - 4 x + 3 x - 12 - \frac{2}{x + 4} ((x + 4) (x - 4)) = \frac{3}{x - 4} ((x + 4) (x - 4))$

Этап 2.2.1.3.2

Добавим $- 4 x$ и $3 x$ .

$x^{2} - x - 12 - \frac{2}{x + 4} ((x + 4) (x - 4)) = \frac{3}{x - 4} ((x + 4) (x - 4))$

Этап 2.2.1.4

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{x + 4}$ в числитель.

$x^{2} - x - 12 + \frac{- 2}{x + 4} ((x + 4) (x - 4)) = \frac{3}{x - 4} ((x + 4) (x - 4))$

Этап 2.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} - x - 12 + \frac{- 2}{x + 4} ((x + 4) (x - 4)) = \frac{3}{x - 4} ((x + 4) (x - 4))$

Этап 2.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - x - 12 - 2 (x - 4) = \frac{3}{x - 4} ((x + 4) (x - 4))$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - x - 12 - 2 x - 2 \cdot - 4 = \frac{3}{x - 4} ((x + 4) (x - 4))$

Этап 2.2.1.6

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$x^{2} - x - 12 - 2 x + 8 = \frac{3}{x - 4} ((x + 4) (x - 4))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $2 x$ из $- x$ .

$x^{2} - 3 x - 12 + 8 = \frac{3}{x - 4} ((x + 4) (x - 4))$

Этап 2.2.2.2

Добавим $- 12$ и $8$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = \frac{3}{x - 4} ((x + 4) (x - 4))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $x - 4$ из $(x + 4) (x - 4)$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = \frac{3}{x - 4} ((x - 4) (x + 4))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 3 x - 4 = \frac{3}{x - 4} ((x - 4) (x + 4))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 3 x - 4 = 3 (x + 4)$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 3 x - 4 = 3 x + 3 \cdot 4$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = 3 x + 12$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 x - 4 - 3 x = 12$

Этап 3.1.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$x^{2} - 6 x - 4 = 12$

Этап 3.2

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 6 x - 4 - 12 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $12$ из $- 4$ .

$x^{2} - 6 x - 16 = 0$

Этап 3.4

Разложим $x^{2} - 6 x - 16$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 16$ , а сумма — $- 6$ .

$- 8, 2$

Этап 3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 8) (x + 2) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 3.7

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 8) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 8, - 2$