Алгебра Примеры

$\frac{3}{x - 1} - \frac{2 x + 10}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{1}{3}$

Этап 1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{3}{x - 1} - \frac{2 (x) + 10}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{1}{3}$

Этап 1.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{3}{x - 1} - \frac{2 x + 2 \cdot 5}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{1}{3}$

Этап 1.1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 5$ .

$\frac{3}{x - 1} - \frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{1}{3}$

Этап 1.1.1.2

Разложим $x^{2} + 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $2$ .

$- 1, 3$

Этап 1.1.1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{3}{x - 1} - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{1}{3}$

Этап 1.2

Вычтем $\frac{1}{3}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{3}{x - 1} - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} - \frac{1}{3} = 0$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 1, (x - 1) (x + 3), 3, 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.6

НОК $1, 1, 3, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 2.7

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $x + 3$ является само значение $x + 3$ .

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $x - 1, x - 1, x + 3$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 1) (x + 3)$

Этап 2.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$3 (x - 1) (x + 3)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{3}{x - 1} - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} - \frac{1}{3} = 0$ умножим на $3 (x - 1) (x + 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{3}{x - 1} - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} - \frac{1}{3} = 0$ на $3 (x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{3}{x - 1} (3 (x - 1) (x + 3)) - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} (3 (x - 1) (x + 3)) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{3}{x - 1} ((x - 1) (x + 3)) - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} (3 (x - 1) (x + 3)) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.2

Умножим $3 \frac{3}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Объединим $3$ и $\frac{3}{x - 1}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{x - 1} ((x - 1) (x + 3)) - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} (3 (x - 1) (x + 3)) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9}{x - 1} ((x - 1) (x + 3)) - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} (3 (x - 1) (x + 3)) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{x - 1} ((x - 1) (x + 3)) - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} (3 (x - 1) (x + 3)) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$9 (x + 3) - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} (3 (x - 1) (x + 3)) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x + 9 \cdot 3 - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} (3 (x - 1) (x + 3)) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.5

Умножим $9$ на $3$ .

$9 x + 27 - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} (3 (x - 1) (x + 3)) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.6

Сократим общий множитель $(x - 1) (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)}$ в числитель.

$9 x + 27 + \frac{- 2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} (3 (x - 1) (x + 3)) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.6.2

Вынесем множитель $(x - 1) (x + 3)$ из $3 (x - 1) (x + 3)$ .

$9 x + 27 + \frac{- 2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} ((x - 1) (x + 3) (3)) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.6.3

Сократим общий множитель.

$9 x + 27 + \frac{- 2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} ((x - 1) (x + 3) \cdot 3) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.6.4

Перепишем это выражение.

$9 x + 27 - 2 (x + 5) \cdot 3 - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $3$ на $- 2$ .

$9 x + 27 - 6 (x + 5) - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x + 27 - 6 x - 6 \cdot 5 - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.9

Умножим $- 6$ на $5$ .

$9 x + 27 - 6 x - 30 - \frac{1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.10

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.10.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$9 x + 27 - 6 x - 30 + \frac{- 1}{3} (3 (x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.10.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (x - 1) (x + 3)$ .

$9 x + 27 - 6 x - 30 + \frac{- 1}{3} (3 ((x - 1) (x + 3))) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.10.3

Сократим общий множитель.

$9 x + 27 - 6 x - 30 + \frac{- 1}{3} (3 ((x - 1) (x + 3))) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.10.4

Перепишем это выражение.

$9 x + 27 - 6 x - 30 - ((x - 1) (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.11

Развернем $(x - 1) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x + 27 - 6 x - 30 - (x (x + 3) - 1 (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x + 27 - 6 x - 30 - (x \cdot x + x \cdot 3 - 1 (x + 3)) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x + 27 - 6 x - 30 - (x \cdot x + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.12.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$9 x + 27 - 6 x - 30 - (x^{2} + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.12.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$9 x + 27 - 6 x - 30 - (x^{2} + 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 3) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.12.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$9 x + 27 - 6 x - 30 - (x^{2} + 3 x - x - 1 \cdot 3) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.12.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$9 x + 27 - 6 x - 30 - (x^{2} + 3 x - x - 3) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.12.2

Вычтем $x$ из $3 x$ .

$9 x + 27 - 6 x - 30 - (x^{2} + 2 x - 3) = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.13

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x + 27 - 6 x - 30 - x^{2} - (2 x) - - 3 = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.14.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$9 x + 27 - 6 x - 30 - x^{2} - 2 x - - 3 = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.1.14.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$9 x + 27 - 6 x - 30 - x^{2} - 2 x + 3 = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $6 x$ из $9 x$ .

$3 x + 27 - 30 - x^{2} - 2 x + 3 = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $2 x$ из $3 x$ .

$x + 27 - 30 - x^{2} + 3 = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.2.3

Вычтем $30$ из $27$ .

$x - 3 - x^{2} + 3 = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 3 - x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.4.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$x - x^{2} + 0 = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.2.2.4.2

Добавим $x - x^{2}$ и $0$ .

$x - x^{2} = 0 (3 (x - 1) (x + 3))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x - x^{2} = 0 ((3 x + 3 \cdot - 1) (x + 3))$

Этап 3.3.1.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x - x^{2} = 0 ((3 x - 3) (x + 3))$

Этап 3.3.2

Развернем $(3 x - 3) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x - x^{2} = 0 (3 x (x + 3) - 3 (x + 3))$

Этап 3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x - x^{2} = 0 (3 x \cdot x + 3 x \cdot 3 - 3 (x + 3))$

Этап 3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x - x^{2} = 0 (3 x \cdot x + 3 x \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3)$

Этап 3.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$x - x^{2} = 0 (3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3)$

Этап 3.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x - x^{2} = 0 (3 x^{2} + 3 x \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3)$

Этап 3.3.3.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$x - x^{2} = 0 (3 x^{2} + 9 x - 3 x - 3 \cdot 3)$

Этап 3.3.3.1.3

Умножим $- 3$ на $3$ .

$x - x^{2} = 0 (3 x^{2} + 9 x - 3 x - 9)$

Этап 3.3.3.2

Вычтем $3 x$ из $9 x$ .

$x - x^{2} = 0 (3 x^{2} + 6 x - 9)$

Этап 3.3.4

Умножим $0$ на $3 x^{2} + 6 x - 9$ .

$x - x^{2} = 0$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$u - u^{2} = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $u$ из $u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$u - u^{2} = 0$

Этап 4.1.2.2

Вынесем множитель $u$ из $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

Этап 4.1.2.3

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

Этап 4.1.2.4

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$u (1 - u) = 0$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x (1 - x) = 0$

Этап 4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

Этап 4.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.4

Приравняем $1 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $1 - x$ к $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 4.4.2

Решим $1 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 4.4.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (1 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{3}{x - 1} - \frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 3)} - \frac{1}{3} = 0$ истинным.

$x = 0$