Алгебра Примеры

$\cos^{2} (x) = \sin (x)$

Этап 1

Вычтем $\sin (x)$ из обеих частей уравнения.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Этап 2

Заменим $\cos^{2} (x)$ на $1 - \sin^{2} (x)$ .

$(1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x) = 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$1 - {(u)}^{2} - (u) = 0$

Этап 3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.3

Подставим значения $a = - 1$ , $b = - 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.4.1.2.2

Умножим $4$ на $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.4.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Этап 3.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.6

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.7

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.8

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 3.9

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Этап 3.9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$x = 0.66623943$

Этап 3.9.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$

Этап 3.9.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265 - 2 π$

Этап 3.9.4.2

Результирующий угол $2.47535322$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ на полный оборот.

$x = 2.47535322$

Этап 3.9.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.9.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.9.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.9.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.9.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.10

Перечислим все решения.

$x = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , для любого целого $n$