Алгебра Примеры

$x + 3 y^{2} + 12 y = 18$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $3 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x + 12 y = 18 - 3 y^{2}$

Этап 1.1.2

Вычтем $12 y$ из обеих частей уравнения.

$x = 18 - 3 y^{2} - 12 y$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $18 - 3 y^{2} - 12 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем $18$ .

$- 3 y^{2} - 12 y + 18$

Этап 1.2.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 3$

$b = - 12$

$c = 18$

Этап 1.2.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель $- 12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (- 3)}$

Этап 1.2.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 6}{- 3}$

Этап 1.2.4.2.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 6$ .

$d = \frac{- 3 (2)}{- 3}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3$ .

$d = \frac{- 3 \cdot 2}{- 3 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{- 3 \cdot 2}{- 3 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 1.2.4.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 1.2.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 18 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot - 3}$

Этап 1.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$e = 18 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

Этап 1.2.5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 3$ .

$e = 18 - \frac{144}{- 12}$

Этап 1.2.5.2.1.3

Разделим $144$ на $- 12$ .

$e = 18 - - 12$

Этап 1.2.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$e = 18 + 12$

Этап 1.2.5.2.2

Добавим $18$ и $12$ .

$e = 30$

Этап 1.2.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 3 {(y + 2)}^{2} + 30$ .

$- 3 {(y + 2)}^{2} + 30$

Этап 1.3

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = - 3 {(y + 2)}^{2} + 30$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 3$

$h = 30$

$k = - 2$

Этап 3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены влево.

Обращены влево

Этап 4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(30, - 2)$

Этап 5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $4$ на $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Этап 5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{12}$

Этап 6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{359}{12}, - 2)$

Этап 7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = - 2$

Этап 8