Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} + x - 12}{9 x^{2} - 1} \div \frac{x^{2} - 5 x + 6}{3 x^{2} - 5 x - 2}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{x^{2} + x - 12}{9 x^{2} - 1} \cdot \frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Этап 2

Разложим $x^{2} + x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $1$ .

$- 3, 4$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{9 x^{2} - 1} \cdot \frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{{(3 x)}^{2} - 1} \cdot \frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Этап 3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{{(3 x)}^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Этап 3.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3 x$ и $b = 1$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{3 x^{2} - 5 (x) - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Этап 4.1.2

Запишем $- 5$ как $1$ плюс $- 6$

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{3 x^{2} + (1 - 6) x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{3 x^{2} + 1 x - 6 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Этап 4.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{3 x^{2} + x - 6 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{(3 x^{2} + x) - 6 x - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{x (3 x + 1) - 2 (3 x + 1)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 1$ .

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x - 2)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Этап 5

Разложим $x^{2} - 5 x + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 3, - 2$

Этап 5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 4}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 7

Сократим общий множитель $3 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 4}{(3 x + 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 4}{3 x - 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Этап 8

Умножим $\frac{x + 4}{3 x - 1}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 2)}{(3 x - 1) (x - 2)}$

Этап 9

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 4) (x - 2)}{(3 x - 1) (x - 2)}$

Этап 9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 4}{3 x - 1}$