Алгебра Примеры

$f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$

Этап 1

Запишем $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ в виде уравнения.

$y = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 2 \cdot 3^{2 y} + 4$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 \cdot 3^{2 y} + 4 = x$ .

$2 \cdot 3^{2 y} + 4 = x$

Этап 3.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$

Этап 3.3

Разделим каждый член $2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$ на $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{2 y}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3^{2 y}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $3^{2 y}$ на $1$ .

$3^{2 y} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $- 4$ на $2$ .

$3^{2 y} = \frac{x}{2} - 2$

Этап 3.4

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{2 y}) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Этап 3.5

Развернем $\ln (3^{2 y})$ , вынося $2 y$ из логарифма.

$2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Этап 3.6

Разделим каждый член $2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$ на $2 \ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Разделим каждый член $2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$ на $2 \ln (3)$ .

$\frac{2 y \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Этап 3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Этап 3.6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Этап 3.6.2.2

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Этап 3.6.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$ обратной к $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 \cdot 3^{2 x} + 4}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $2 \cdot 3^{2 x} + 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 3^{2 x}$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x}) + 4}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Этап 5.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x}) + 2 \cdot 2}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Этап 5.2.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3^{2 x}) + 2 (2)$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Этап 5.2.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2 (1)} - 2)}{2 \ln (3)}$

Этап 5.2.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2 \cdot 1} - 2)}{2 \ln (3)}$

Этап 5.2.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{3^{2 x} + 2}{1} - 2)}{2 \ln (3)}$

Этап 5.2.3.4.4

Разделим $3^{2 x} + 2$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x} + 2 - 2)}{2 \ln (3)}$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $3^{2 x} + 2 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x} + 0)}{2 \ln (3)}$

Этап 5.2.4.2

Добавим $3^{2 x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{2 \ln (3)}$

Этап 5.2.5

Упростим $2 \ln (3)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{\ln (3^{2})}$

Этап 5.2.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{\ln (9)}$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)})} + 4$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Этап 5.3.3.1.2

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Этап 5.3.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 2 \cdot 2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Этап 5.3.3.1.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Этап 5.3.3.2

Упростим $2 \ln (3)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (3^{2})})} + 4$

Этап 5.3.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)})} + 4$

Этап 5.3.3.4

Умножим $2 \frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Объединим $2$ и $\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{2 \ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}} + 4$

Этап 5.3.3.4.2

Упростим $2 \ln (\frac{x - 4}{2})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln ({(\frac{x - 4}{2})}^{2})}{\ln (9)}} + 4$

Этап 5.3.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Применим правило умножения к $\frac{x - 4}{2}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln (\frac{{(x - 4)}^{2}}{2^{2}})}{\ln (9)}} + 4$

Этап 5.3.3.5.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln (\frac{{(x - 4)}^{2}}{4})}{\ln (9)}} + 4$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$ — обратная к $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$