Алгебра Примеры

$2 \log (2 x + 2) = \log (16) + 2 \log (x - 2)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $2 \log (2 x + 2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log ({(2 x + 2)}^{2}) = \log (16) + 2 \log (x - 2)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\log (16) + 2 \log (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $2 \log (x - 2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log ({(2 x + 2)}^{2}) = \log (16) + \log ({(x - 2)}^{2})$

Этап 2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(2 x + 2)}^{2}) = \log (16 {(x - 2)}^{2})$

Этап 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 {(x - 2)}^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $16 {(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 ((x - 2) (x - 2))$

Этап 4.1.2

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Этап 4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Этап 4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Этап 4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Этап 4.1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Этап 4.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Этап 4.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x^{2} - 4 x + 4)$

Этап 4.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 x^{2} + 16 (- 4 x) + 16 \cdot 4$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 x^{2} - 64 x + 16 \cdot 4$

Этап 4.1.5.2

Умножим $16$ на $4$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 x^{2} - 64 x + 64$

Этап 4.2

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = {(2 x + 2)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим ${(2 x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем ${(2 x + 2)}^{2}$ в виде $(2 x + 2) (2 x + 2)$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = (2 x + 2) (2 x + 2)$

Этап 4.3.2

Развернем $(2 x + 2) (2 x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 x (2 x + 2) + 2 (2 x + 2)$

Этап 4.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x + 2)$

Этап 4.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.3.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.3.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.3.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 4 x + 4 x + 4$

Этап 4.3.3.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 8 x + 4$

Этап 4.4

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 x^{2} = 8 x + 4$

Этап 4.4.2

Вычтем $8 x$ из обеих частей уравнения.

$16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 x^{2} - 8 x = 4$

Этап 4.4.3

Вычтем $4 x^{2}$ из $16 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 64 x + 64 - 8 x = 4$

Этап 4.4.4

Вычтем $8 x$ из $- 64 x$ .

$12 x^{2} - 72 x + 64 = 4$

Этап 4.5

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$12 x^{2} - 72 x + 64 - 4 = 0$

Этап 4.6

Вычтем $4$ из $64$ .

$12 x^{2} - 72 x + 60 = 0$

Этап 4.7

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{2} - 72 x + 60$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) - 72 x + 60 = 0$

Этап 4.7.1.2

Вынесем множитель $12$ из $- 72 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (- 6 x) + 60 = 0$

Этап 4.7.1.3

Вынесем множитель $12$ из $60$ .

$12 x^{2} + 12 (- 6 x) + 12 \cdot 5 = 0$

Этап 4.7.1.4

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{2} + 12 (- 6 x)$ .

$12 (x^{2} - 6 x) + 12 \cdot 5 = 0$

Этап 4.7.1.5

Вынесем множитель $12$ из $12 (x^{2} - 6 x) + 12 \cdot 5$ .

$12 (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

Этап 4.7.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Разложим $x^{2} - 6 x + 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $5$ , а сумма — $- 6$ .

$- 5, - 1$

Этап 4.7.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$12 ((x - 5) (x - 1)) = 0$

Этап 4.7.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$12 (x - 5) (x - 1) = 0$

Этап 4.8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4.9

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 4.9.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4.10

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.10.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.11

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 (x - 5) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 5, 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $2 \log (2 x + 2) = \log (16) + 2 \log (x - 2)$ истинным.

$x = 5$