Алгебра Примеры

$\frac{\sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x} - 1}$

Этап 1

Умножим $\frac{\sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x} - 1}$ на $\frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x} + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x} - 1} \cdot \frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x} + 1}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{\sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x} - 1}$ на $\frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x} + 1}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{(2 \sqrt{x} - 1) (2 \sqrt{x} + 1)}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 {\sqrt{x}}^{2} + 2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} - 1}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1}$

Этап 2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}$

Этап 2.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x^{\frac{2}{2}} - 1}$

Этап 2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x^{\frac{2}{2}} - 1}$

Этап 2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x^{1} - 1}$

Этап 2.3.5

Упростим.

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x - 1}$

Этап 3

Развернем $(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{x} (2 \sqrt{x} + 1) + 3 (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x - 1}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{x} (2 \sqrt{x}) + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x - 1}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{x} (2 \sqrt{x}) + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $2 \sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}) + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Этап 4.1.2.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}) + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Этап 4.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Этап 4.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Этап 4.1.3

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Этап 4.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Этап 4.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Этап 4.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Этап 4.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{1} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Этап 4.1.3.5

Упростим.

$\frac{2 x + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Этап 4.1.4

Умножим $\sqrt{x}$ на $1$ .

$\frac{2 x + \sqrt{x} + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Этап 4.1.5

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2 x + \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Этап 4.1.6

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{2 x + \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + 3}{4 x - 1}$

Этап 4.2

Добавим $\sqrt{x}$ и $6 \sqrt{x}$ .

$\frac{2 x + 7 \sqrt{x} + 3}{4 x - 1}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x + 7 x^{\frac{1}{2}} + 3}{4 x - 1}$

Этап 5.2

Перепишем $x$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 7 x^{\frac{1}{2}} + 3}{4 x - 1}$

Этап 5.3

Пусть $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{2}}$ для всех.

$\frac{2 u^{2} + 7 u + 3}{4 x - 1}$

Этап 5.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 u$ .

$\frac{2 u^{2} + 7 (u) + 3}{4 x - 1}$

Этап 5.4.1.2

Запишем $7$ как $1$ плюс $6$

$\frac{2 u^{2} + (1 + 6) u + 3}{4 x - 1}$

Этап 5.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 u^{2} + 1 u + 6 u + 3}{4 x - 1}$

Этап 5.4.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$\frac{2 u^{2} + u + 6 u + 3}{4 x - 1}$

Этап 5.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 u^{2} + u) + 6 u + 3}{4 x - 1}$

Этап 5.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{u (2 u + 1) + 3 (2 u + 1)}{4 x - 1}$

Этап 5.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 1$ .

$\frac{(2 u + 1) (u + 3)}{4 x - 1}$

Этап 5.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 3)}{4 x - 1}$