Алгебра Примеры

$\frac{2 x}{x^{2} - 49} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} - 7^{2}} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 7$ .

$\frac{2 x}{(x + 7) (x - 7)} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{2 x}{(x + 7) (x - 7)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{2 x}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{2 x}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 7) (x - 7) (x - 4)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{2 x}{(x + 7) (x - 7)}$ на $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{2 x (x - 4)}{(x + 7) (x - 7) (x - 4)} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$ на $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{2 x (x - 4)}{(x + 7) (x - 7) (x - 4)} - \frac{3 (x + 7)}{(x - 4) (x - 7) (x + 7)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x + 7) (x - 7) (x - 4)$ .

$\frac{2 x (x - 4)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)} - \frac{3 (x + 7)}{(x - 4) (x - 7) (x + 7)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(x - 4) (x - 7) (x + 7)$ .

$\frac{2 x (x - 4)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)} - \frac{3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x (x - 4) - 3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 - 3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Этап 6.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 4 - 3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Этап 6.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Этап 6.3

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 3 x - 3 \cdot 7}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Этап 6.5

Умножим $- 3$ на $7$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 3 x - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Этап 6.6

Вычтем $3 x$ из $- 8 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 11 x - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Этап 6.7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 21 = - 42$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 11 (x) - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Этап 6.7.1.2

Запишем $- 11$ как $3$ плюс $- 14$

$\frac{2 x^{2} + (3 - 14) x - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Этап 6.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 14 x - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Этап 6.7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 x^{2} + 3 x) - 14 x - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Этап 6.7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (2 x + 3) - 7 (2 x + 3)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Этап 6.7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 3$ .

$\frac{(2 x + 3) (x - 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x + 3) (x - 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x + 3}{(x + 7) (x - 4)}$