Алгебра Примеры

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$ .

$x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4} - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4}$ .

$x^{3} x - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$ .

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

Этап 1.2.2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 21 \cdot 20 = - 420$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Умножим на $1$ .

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + 1 x + 20 = 0$

Этап 1.2.2.2.1.2

Запишем $1$ как $- 20$ плюс $21$

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + (- 20 + 21) x + 20 = 0$

Этап 1.2.2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} - 20 x + 21 x + 20 = 0$

Этап 1.2.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} - 20 x + 21 x + 20 = 0$

Этап 1.2.2.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{3} (x - 1) + x (- 21 x - 20) - (- 21 x - 20) = 0$

Этап 1.2.2.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 21 x - 20$ .

$x^{3} (x - 1) + (- 21 x - 20) (x - 1) = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $x - 1$ из $x^{3} (x - 1) + (- 21 x - 20) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $x^{3} (x - 1)$ .

$(x - 1) x^{3} + (- 21 x - 20) (x - 1) = 0$

Этап 1.2.2.3.2

Вынесем множитель $x - 1$ из $(- 21 x - 20) (x - 1)$ .

$(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 21 x - 20) = 0$

Этап 1.2.2.3.3

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 21 x - 20)$ .

$(x - 1) (x^{3} - 21 x - 20) = 0$

Этап 1.2.2.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.1

Перепишем $x^{3} - 21 x - 20$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.1.1

Разложим $x^{3} - 21 x - 20$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Этап 1.2.2.4.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Этап 1.2.2.4.1.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.1.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{3} - 21 \cdot - 1 - 20$

Этап 1.2.2.4.1.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 - 21 \cdot - 1 - 20$

Этап 1.2.2.4.1.1.3.3

Умножим $- 21$ на $- 1$ .

$- 1 + 21 - 20$

Этап 1.2.2.4.1.1.3.4

Добавим $- 1$ и $21$ .

$20 - 20$

Этап 1.2.2.4.1.1.3.5

Вычтем $20$ из $20$ .

$0$

Этап 1.2.2.4.1.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 21 x - 20}{x + 1}$

Этап 1.2.2.4.1.1.5

Разделим $x^{3} - 21 x - 20$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$20$

Этап 1.2.2.4.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$

Этап 1.2.2.4.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 1.2.2.4.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 1.2.2.4.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 1.2.2.4.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$

Этап 1.2.2.4.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$

Этап 1.2.2.4.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Этап 1.2.2.4.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Этап 1.2.2.4.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$

Этап 1.2.2.4.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$

Этап 1.2.2.4.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 20 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$

Этап 1.2.2.4.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	-	$20$

Этап 1.2.2.4.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 20 x - 20$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	+	$20$

Этап 1.2.2.4.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	+	$20$
										$0$

Этап 1.2.2.4.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x - 20$

Этап 1.2.2.4.1.1.6

Запишем $x^{3} - 21 x - 20$ в виде набора множителей.

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - x - 20)) = 0$

Этап 1.2.2.4.1.2

Разложим $x^{2} - x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.1.2.1

Разложим $x^{2} - x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $- 1$ .

$- 5, 4$

Этап 1.2.2.4.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) ((x + 1) ((x - 5) (x + 4))) = 0$

Этап 1.2.2.4.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) ((x + 1) (x - 5) (x + 4)) = 0$

Этап 1.2.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (x + 1) (x - 5) (x + 4) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.2.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.6

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 1.2.6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 1.2.7

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 1.2.7.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 1.2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x + 1) (x - 5) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 1, - 1, 5, - 4$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(1, 0), (- 1, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Этап 2.2.4

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 21 \cdot 0^{2} + 0 + 20$

Этап 2.2.5

Избавимся от скобок.

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Этап 2.2.6

Упростим ${(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Этап 2.2.6.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 0 - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Этап 2.2.6.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$y = 0 + 0 - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Этап 2.2.6.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 0 - 21 \cdot 0 + 0 + 20$

Этап 2.2.6.1.5

Умножим $- 21$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 20$

Этап 2.2.6.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 20$

Этап 2.2.6.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 + 20$

Этап 2.2.6.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 20$

Этап 2.2.6.2.4

Добавим $0$ и $20$ .

$y = 20$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 20)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(1, 0), (- 1, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 20)$

Этап 4