Алгебра Примеры

$\frac{- 4 x + 2}{x - 3} + \frac{3}{x - 1} = - \frac{6}{x^{2} - 4 x + 3}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2}{x - 3} + \frac{3}{x - 1} = - \frac{6}{x^{2} - 4 x + 3}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2 (1)}{x - 3} + \frac{3}{x - 1} = - \frac{6}{x^{2} - 4 x + 3}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- 2 x + 1)}{x - 3} + \frac{3}{x - 1} = - \frac{6}{x^{2} - 4 x + 3}$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} - 4 x + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $- 4$ .

$- 3, - 1$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{2 (- 2 x + 1)}{x - 3} + \frac{3}{x - 1} = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 3, x - 1, (x - 3) (x - 1)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 3$ является само значение $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x - 3$ является само значение $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $x - 3, x - 1, x - 3, x - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 3) (x - 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{2 (- 2 x + 1)}{x - 3} + \frac{3}{x - 1} = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)}$ умножим на $(x - 3) (x - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{2 (- 2 x + 1)}{x - 3} + \frac{3}{x - 1} = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)}$ на $(x - 3) (x - 1)$ .

$\frac{2 (- 2 x + 1)}{x - 3} ((x - 3) (x - 1)) + \frac{3}{x - 1} ((x - 3) (x - 1)) = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 2 x + 1)}{x - 3} ((x - 3) (x - 1)) + \frac{3}{x - 1} ((x - 3) (x - 1)) = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 (- 2 x + 1) (x - 1) + \frac{3}{x - 1} ((x - 3) (x - 1)) = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) (x - 1) + \frac{3}{x - 1} ((x - 3) (x - 1)) = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$(- 4 x + 2 \cdot 1) (x - 1) + \frac{3}{x - 1} ((x - 3) (x - 1)) = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$(- 4 x + 2) (x - 1) + \frac{3}{x - 1} ((x - 3) (x - 1)) = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.2.1.5

Развернем $(- 4 x + 2) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x (x - 1) + 2 (x - 1) + \frac{3}{x - 1} ((x - 3) (x - 1)) = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 + 2 (x - 1) + \frac{3}{x - 1} ((x - 3) (x - 1)) = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + \frac{3}{x - 1} ((x - 3) (x - 1)) = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.2.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1.1.1

Перенесем $x$ .

$- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + \frac{3}{x - 1} ((x - 3) (x - 1)) = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.2.1.6.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + \frac{3}{x - 1} ((x - 3) (x - 1)) = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.2.1.6.1.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- 4 x^{2} + 4 x + 2 x + 2 \cdot - 1 + \frac{3}{x - 1} ((x - 3) (x - 1)) = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.2.1.6.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 4 x^{2} + 4 x + 2 x - 2 + \frac{3}{x - 1} ((x - 3) (x - 1)) = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.2.1.6.2

Добавим $4 x$ и $2 x$ .

$- 4 x^{2} + 6 x - 2 + \frac{3}{x - 1} ((x - 3) (x - 1)) = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.2.1.7

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x - 3) (x - 1)$ .

$- 4 x^{2} + 6 x - 2 + \frac{3}{x - 1} ((x - 1) (x - 3)) = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.2.1.7.2

Сократим общий множитель.

$- 4 x^{2} + 6 x - 2 + \frac{3}{x - 1} ((x - 1) (x - 3)) = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.2.1.7.3

Перепишем это выражение.

$- 4 x^{2} + 6 x - 2 + 3 (x - 3) = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x^{2} + 6 x - 2 + 3 x + 3 \cdot - 3 = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.2.1.9

Умножим $3$ на $- 3$ .

$- 4 x^{2} + 6 x - 2 + 3 x - 9 = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $6 x$ и $3 x$ .

$- 4 x^{2} + 9 x - 2 - 9 = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $9$ из $- 2$ .

$- 4 x^{2} + 9 x - 11 = - \frac{6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(x - 3) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{6}{(x - 3) (x - 1)}$ в числитель.

$- 4 x^{2} + 9 x - 11 = \frac{- 6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$- 4 x^{2} + 9 x - 11 = \frac{- 6}{(x - 3) (x - 1)} ((x - 3) (x - 1))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- 4 x^{2} + 9 x - 11 = - 6$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$- 4 x^{2} + 9 x - 11 + 6 = 0$

Этап 4.2

Добавим $- 11$ и $6$ .

$- 4 x^{2} + 9 x - 5 = 0$

Этап 4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x^{2} + 9 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x^{2}$ .

$- (4 x^{2}) + 9 x - 5 = 0$

Этап 4.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $9 x$ .

$- (4 x^{2}) - (- 9 x) - 5 = 0$

Этап 4.3.1.3

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$- (4 x^{2}) - (- 9 x) - 1 \cdot 5 = 0$

Этап 4.3.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{2}) - (- 9 x)$ .

$- (4 x^{2} - 9 x) - 1 \cdot 5 = 0$

Этап 4.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{2} - 9 x) - 1 (5)$ .

$- (4 x^{2} - 9 x + 5) = 0$

Этап 4.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 5 = 20$ , а сумма — $b = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9 x$ .

$- (4 x^{2} - 9 x + 5) = 0$

Этап 4.3.2.1.1.2

Запишем $- 9$ как $- 4$ плюс $- 5$

$- (4 x^{2} + (- 4 - 5) x + 5) = 0$

Этап 4.3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (4 x^{2} - 4 x - 5 x + 5) = 0$

Этап 4.3.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((4 x^{2} - 4 x) - 5 x + 5) = 0$

Этап 4.3.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (4 x (x - 1) - 5 (x - 1)) = 0$

Этап 4.3.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$- ((x - 1) (4 x - 5)) = 0$

Этап 4.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 1) (4 x - 5) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.6

Приравняем $4 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $4 x - 5$ к $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Этап 4.6.2

Решим $4 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 5$

Этап 4.6.2.2

Разделим каждый член $4 x = 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 5$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 4.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 4.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 1) (4 x - 5) = 0$ верно.

$x = 1, \frac{5}{4}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{- 4 x + 2}{x - 3} + \frac{3}{x - 1} = - \frac{6}{x^{2} - 4 x + 3}$ истинным.

$x = \frac{5}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{5}{4}$

Десятичная форма:

$x = 1.25$

Форма смешанных чисел:

$x = 1 \frac{1}{4}$