Алгебра Примеры

$z^{2} - \frac{3}{4} z = - 80$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $z$ и $\frac{3}{4}$ .

$z^{2} - \frac{z \cdot 3}{4} = - 80$

Этап 1.2

Перенесем $3$ влево от $z$ .

$z^{2} - \frac{3 z}{4} = - 80$

Этап 2

Добавим $80$ к обеим частям уравнения.

$z^{2} - \frac{3 z}{4} + 80 = 0$

Этап 3

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $4$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 z^{2} + 4 (- \frac{3 z}{4}) + 4 \cdot 80 = 0$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 z}{4}$ в числитель.

$4 z^{2} + 4 (\frac{- 3 z}{4}) + 4 \cdot 80 = 0$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$4 z^{2} + 4 (\frac{- 3 z}{4}) + 4 \cdot 80 = 0$

Этап 3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$4 z^{2} - 3 z + 4 \cdot 80 = 0$

Этап 3.2.2

Умножим $4$ на $80$ .

$4 z^{2} - 3 z + 320 = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 3$ и $c = 320$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $z$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 320)}}{2 \cdot 4}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 320}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 320$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 320}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 16$ на $320$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 5120}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.3

Вычтем $5120$ из $9$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{- 5111}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.4

Перепишем $- 5111$ в виде $- 1 (5111)$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 5111}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (5111)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5111}$ .

$z = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5111}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$z = \frac{3 \pm i \sqrt{5111}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $4$ .

$z = \frac{3 \pm i \sqrt{5111}}{8}$

Этап 7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$z = \frac{3 + i \sqrt{5111}}{8}, \frac{3 - i \sqrt{5111}}{8}$