Алгебра Примеры

$\sqrt{3} \tan (x) \cot (x) + \sqrt{3} \tan (x) - \cot (x) - 1 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\sqrt{3} \tan (x) \cot (x) + \sqrt{3} \tan (x) - \cot (x) - 1 = 0$

Этап 1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\sqrt{3} \tan (x) (\cot (x) + 1) - (\cot (x) + 1) = 0$

Этап 1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $\cot (x) + 1$ .

$(\cot (x) + 1) (\sqrt{3} \tan (x) - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

$\sqrt{3} \tan (x) - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $\cot (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\cot (x) + 1$ к $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $\cot (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cot (x) = - 1$

Этап 3.2.2

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (- 1)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Точное значение $arccot (- 1)$ : $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 3.2.4

Функция котангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Этап 3.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Добавим $2 π$ к $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Этап 3.2.5.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{4}$ является положительным и отличается от $\frac{3 π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 3.2.6

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 3.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.2.7

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\sqrt{3} \tan (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sqrt{3} \tan (x) - 1$ к $0$ .

$\sqrt{3} \tan (x) - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $\sqrt{3} \tan (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{3} \tan (x) = 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $\sqrt{3} \tan (x) = 1$ на $\sqrt{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $\sqrt{3} \tan (x) = 1$ на $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.2.2.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.2.2.3.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 4.2.2.3.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 4.2.2.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 4.2.2.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 4.2.2.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.2.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.2.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.2.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.2.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 4.2.2.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 4.2.3

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Точное значение $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 4.2.5

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{6}$

Этап 4.2.6

Упростим $π + \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 4.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 4.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Этап 4.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Этап 4.2.6.3.2

Добавим $6 π$ и $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 4.2.7

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 4.2.7.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2.8

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\cot (x) + 1) (\sqrt{3} \tan (x) - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$