Алгебра Примеры

$\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \frac{1}{2} = \log_{9} (\sqrt{x + 1})$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \log_{9} (\sqrt{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{10 x + 5}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Этап 3

Вынесем множитель $5$ из $10 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $5$ из $10 x$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x) + 5}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x) + 5 (1)}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (2 x) + 5 (1)$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Этап 4

Умножим $\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}$ на $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Этап 5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}$ на $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Этап 5.2

Возведем $\sqrt{x + 1}$ в степень $1$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Этап 5.3

Возведем $\sqrt{x + 1}$ в степень $1$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Этап 5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}) = \frac{1}{2}$

Этап 5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}) = \frac{1}{2}$

Этап 5.6

Перепишем ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ в виде $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) = \frac{1}{2}$

Этап 5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) = \frac{1}{2}$

Этап 5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}) = \frac{1}{2}$

Этап 5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}) = \frac{1}{2}$

Этап 5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Этап 5.6.5

Упростим.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Этап 6

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Этап 7

Перепишем $\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$9^{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}$

Этап 8

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 9^{\frac{1}{2}} (x + 1)$

Этап 9

Упростим $9^{\frac{1}{2}} (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + 1)$

Этап 9.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{2 (\frac{1}{2})} (x + 1)$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{2 (\frac{1}{2})} (x + 1)$

Этап 9.2.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{1} (x + 1)$

Этап 9.3

Найдем экспоненту.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 (x + 1)$

Этап 9.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 x + 3 \cdot 1$

Этап 9.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 x + 3$

Этап 10

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} - 3 x = 3$

Этап 11

Добавим $3 x$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 + 3 x$

Этап 12

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}^{2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Этап 13

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}$ в виде ${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Этап 13.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим ${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Этап 13.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Этап 13.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Этап 13.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${((5 (2 x) + 5 \cdot 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Этап 13.2.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.3.1

Умножим $2$ на $5$ .

${((10 x + 5 \cdot 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Этап 13.2.1.1.3.2

Умножим $5$ на $1$ .

${((10 x + 5) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Этап 13.2.1.2

Развернем $(10 x + 5) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(10 x (x + 1) + 5 (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Этап 13.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(10 x \cdot x + 10 x \cdot 1 + 5 (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Этап 13.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(10 x \cdot x + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Этап 13.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

${(10 (x \cdot x) + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Этап 13.2.1.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

${(10 x^{2} + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Этап 13.2.1.3.1.2

Умножим $10$ на $1$ .

${(10 x^{2} + 10 x + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Этап 13.2.1.3.1.3

Умножим $5$ на $1$ .

${(10 x^{2} + 10 x + 5 x + 5)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Этап 13.2.1.3.2

Добавим $10 x$ и $5 x$ .

${(10 x^{2} + 15 x + 5)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Этап 13.2.1.4

Упростим.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = {(3 + 3 x)}^{2}$

Этап 13.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Упростим ${(3 + 3 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1.1

Перепишем ${(3 + 3 x)}^{2}$ в виде $(3 + 3 x) (3 + 3 x)$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = (3 + 3 x) (3 + 3 x)$

Этап 13.3.1.2

Развернем $(3 + 3 x) (3 + 3 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 (3 + 3 x) + 3 x (3 + 3 x)$

Этап 13.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 x (3 + 3 x)$

Этап 13.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

Этап 13.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1.3.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 3 (3 x) + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

Этап 13.3.1.3.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

Этап 13.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 x (3 x)$

Этап 13.3.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 x \cdot x$

Этап 13.3.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 (x \cdot x)$

Этап 13.3.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 x^{2}$

Этап 13.3.1.3.1.6

Умножим $3$ на $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 9 x^{2}$

Этап 13.3.1.3.2

Добавим $9 x$ и $9 x$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 18 x + 9 x^{2}$

Этап 14

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Вычтем $18 x$ из обеих частей уравнения.

$10 x^{2} + 15 x + 5 - 18 x = 9 + 9 x^{2}$

Этап 14.1.2

Вычтем $9 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$10 x^{2} + 15 x + 5 - 18 x - 9 x^{2} = 9$

Этап 14.1.3

Вычтем $9 x^{2}$ из $10 x^{2}$ .

$x^{2} + 15 x + 5 - 18 x = 9$

Этап 14.1.4

Вычтем $18 x$ из $15 x$ .

$x^{2} - 3 x + 5 = 9$

Этап 14.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 x + 5 - 9 = 0$

Этап 14.3

Вычтем $9$ из $5$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Этап 14.4

Разложим $x^{2} - 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1$

Этап 14.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Этап 14.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 14.6

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 14.6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 14.7

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 14.7.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 14.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 4, - 1$

Этап 15

Исключим решения, которые не делают $\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \frac{1}{2} = \log_{9} (\sqrt{x + 1})$ истинным.

$x = 4$