Алгебра Примеры

$\cos^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) - \cos (x) + 2 = 0$

Этап 1

Разложим $\cos^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) - \cos (x) + 2$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\cos^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) - \cos (x) + 2 = 0$

Этап 1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\cos^{2} (x) (\cos (x) - 2) - (\cos (x) - 2) = 0$

Этап 1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $\cos (x) - 2$ .

$(\cos (x) - 2) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(\cos (x) - 2) (\cos^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Этап 1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (x)$ и $b = 1$ .

$(\cos (x) - 2) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Этап 1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(\cos (x) - 2) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) - 2 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $\cos (x) - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\cos (x) - 2$ к $0$ .

$\cos (x) - 2 = 0$

Этап 3.2

Решим $\cos (x) - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\cos (x) = 2$

Этап 3.2.2

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $2$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 4

Приравняем $\cos (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\cos (x) + 1$ к $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $\cos (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x) = - 1$

Этап 4.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 1)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 4.2.4

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 4.2.5

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 4.2.6

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.7

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $\cos (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cos (x) - 1$ к $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $\cos (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cos (x) = 1$

Этап 5.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 5.2.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 5.2.5

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 5.2.6

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.7

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\cos (x) - 2) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ верно.

$x = π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$