Алгебра Примеры

$2^{x} + 2^{5 - x} = 12$

Этап 1

Перепишем $2^{5 - x}$ в виде $2^{5} \cdot 2^{- x}$ .

$2^{x} + 2^{5} \cdot 2^{- x} = 12$

Этап 2

Перепишем $2^{- x}$ в виде степенного выражения.

$2^{x} + 2^{5} \cdot {(2^{x})}^{- 1} = 12$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $2^{x}$ .

$u + 2^{5} \cdot u^{- 1} = 12$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $2$ в степень $5$ .

$u + 32 \cdot u^{- 1} = 12$

Этап 4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 32 \cdot \frac{1}{u} = 12$

Этап 4.3

Объединим $32$ и $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{32}{u} = 12$

Этап 5

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1$

Этап 5.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 5.2

Каждый член в $u + \frac{32}{u} = 12$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $u + \frac{32}{u} = 12$ на $u$ .

$u \cdot u + \frac{32}{u} u = 12 u$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} + \frac{32}{u} u = 12 u$

Этап 5.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$u^{2} + \frac{32}{u} u = 12 u$

Этап 5.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{2} + 32 = 12 u$

Этап 5.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $12 u$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} + 32 - 12 u = 0$

Этап 5.3.2

Разложим $u^{2} + 32 - 12 u$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $32$ , а сумма — $- 12$ .

$- 8, - 4$

Этап 5.3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 8) (u - 4) = 0$

Этап 5.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 4 = 0$

Этап 5.3.4

Приравняем $u - 8$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Приравняем $u - 8$ к $0$ .

$u - 8 = 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$u = 8$

Этап 5.3.5

Приравняем $u - 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Приравняем $u - 4$ к $0$ .

$u - 4 = 0$

Этап 5.3.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$u = 4$

Этап 5.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 8) (u - 4) = 0$ верно.

$u = 8, 4$

Этап 6

Подставим $8$ вместо $u$ в $u = 2^{x}$ .

$8 = 2^{x}$

Этап 7

Решим $8 = 2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $2^{x} = 8$ .

$2^{x} = 8$

Этап 7.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{x} = 2^{3}$

Этап 7.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 3$

Этап 8

Подставим $4$ вместо $u$ в $u = 2^{x}$ .

$4 = 2^{x}$

Этап 9

Решим $4 = 2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем уравнение в виде $2^{x} = 4$ .

$2^{x} = 4$

Этап 9.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{x} = 2^{2}$

Этап 9.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 2$

Этап 10

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = 3, 2$