Алгебра Примеры

$| x - \frac{1}{2} | < 5$

Этап 1

Запишем $| x - \frac{1}{2} | < 5$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x - \frac{1}{2} \geq 0$

Этап 1.2

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям неравенства.

$x \geq \frac{1}{2}$

Этап 1.3

В части, где $x - \frac{1}{2}$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x - \frac{1}{2} < 5$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x - \frac{1}{2} < 0$

Этап 1.5

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям неравенства.

$x < \frac{1}{2}$

Этап 1.6

В части, где $x - \frac{1}{2}$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (x - \frac{1}{2}) < 5$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x - \frac{1}{2} < 5 & x \geq \frac{1}{2} \\ - (x - \frac{1}{2}) < 5 & x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Этап 1.8

Упростим $- (x - \frac{1}{2}) < 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} x - \frac{1}{2} < 5 & x \geq \frac{1}{2} \\ - x - - \frac{1}{2} < 5 & x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Этап 1.8.2

Умножим $- - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

${\begin{cases} x - \frac{1}{2} < 5 & x \geq \frac{1}{2} \\ - x + 1 (\frac{1}{2}) < 5 & x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Этап 1.8.2.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

${\begin{cases} x - \frac{1}{2} < 5 & x \geq \frac{1}{2} \\ - x + \frac{1}{2} < 5 & x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Этап 2

Решим $x - \frac{1}{2} < 5$ , когда $x \geq \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям неравенства.

$x < 5 + \frac{1}{2}$

Этап 2.1.2

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x < 5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 2.1.3

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$x < \frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x < \frac{5 \cdot 2 + 1}{2}$

Этап 2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Умножим $5$ на $2$ .

$x < \frac{10 + 1}{2}$

Этап 2.1.5.2

Добавим $10$ и $1$ .

$x < \frac{11}{2}$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x < \frac{11}{2}$ и $x \geq \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \leq x < \frac{11}{2}$

Этап 3

Решим $- x + \frac{1}{2} < 5$ , когда $x < \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- x + \frac{1}{2} < 5$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вычтем $\frac{1}{2}$ из обеих частей неравенства.

$- x < 5 - \frac{1}{2}$

Этап 3.1.1.2

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- x < 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 3.1.1.3

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$- x < \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 3.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- x < \frac{5 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 3.1.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.5.1

Умножим $5$ на $2$ .

$- x < \frac{10 - 1}{2}$

Этап 3.1.1.5.2

Вычтем $1$ из $10$ .

$- x < \frac{9}{2}$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $- x < \frac{9}{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $- x < \frac{9}{2}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\frac{9}{2}}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} > \frac{\frac{9}{2}}{- 1}$

Этап 3.1.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{\frac{9}{2}}{- 1}$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{9}{2}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \frac{9}{2}$

Этап 3.1.2.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{9}{2}$ в виде $- \frac{9}{2}$ .

$x > - \frac{9}{2}$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x > - \frac{9}{2}$ и $x < \frac{1}{2}$ .

$- \frac{9}{2} < x < \frac{1}{2}$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$- \frac{9}{2} < x < \frac{11}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \frac{9}{2} < x < \frac{11}{2}$

Интервальное представление:

$(- \frac{9}{2}, \frac{11}{2})$

Этап 6