Алгебра Примеры

$x^{4} - 11 x^{2} = 80$

Этап 1

Вычтем $80$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} - 11 x^{2} - 80 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} - 80 = 0$

Этап 2.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$u^{2} - 11 u - 80 = 0$

Этап 2.3

Разложим $u^{2} - 11 u - 80$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 80$ , а сумма — $- 11$ .

$- 16, 5$

Этап 2.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 16) (u + 5) = 0$

Этап 2.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(x^{2} - 16) (x^{2} + 5) = 0$

Этап 2.5

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$(x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 5) = 0$

Этап 2.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} + 5) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 5 = 0$

Этап 4

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 6

Приравняем $x^{2} + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x^{2} + 5$ к $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Этап 6.2

Решим $x^{2} + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 5$

Этап 6.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Этап 6.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Этап 6.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (5)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Этап 6.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Этап 6.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{5}$

Этап 6.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{5}$

Этап 6.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 4) (x - 4) (x^{2} + 5) = 0$ верно.

$x = - 4, 4, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$