Алгебра Примеры

$2 - \frac{12}{4 - x} = \frac{2 x + 4}{x^{2} - 16}$

Этап 1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{12}{4 - x} = \frac{2 x + 4}{x^{2} - 16} - 2$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$- \frac{12}{4 - x} = \frac{2 (x) + 4}{x^{2} - 16} - 2$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{12}{4 - x} = \frac{2 x + 2 \cdot 2}{x^{2} - 16} - 2$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 2$ .

$- \frac{12}{4 - x} = \frac{2 (x + 2)}{x^{2} - 16} - 2$

Этап 1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$- \frac{12}{4 - x} = \frac{2 (x + 2)}{x^{2} - 4^{2}} - 2$

Этап 1.2.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$- \frac{12}{4 - x} = \frac{2 (x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} - 2$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$4 - x, (x + 4) (x - 4), 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $4 - x$ является само значение $4 - x$ .

$(4 - x) = 4 - x$

$(4 - x)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x + 4$ является само значение $x + 4$ .

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x - 4$ является само значение $x - 4$ .

$(x - 4) = x - 4$

$(x - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $4 - x, x + 4, x - 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(4 - x) (x + 4) (x - 4)$

Этап 3

Каждый член в $- \frac{12}{4 - x} = \frac{2 (x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} - 2$ умножим на $(4 - x) (x + 4) (x - 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $- \frac{12}{4 - x} = \frac{2 (x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} - 2$ на $(4 - x) (x + 4) (x - 4)$ .

$- \frac{12}{4 - x} ((4 - x) (x + 4) (x - 4)) = \frac{2 (x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} ((4 - x) (x + 4) (x - 4)) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $4 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{12}{4 - x}$ в числитель.

$\frac{- 12}{4 - x} ((4 - x) (x + 4) (x - 4)) = \frac{2 (x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} ((4 - x) (x + 4) (x - 4)) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $4 - x$ из $(4 - x) (x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{- 12}{4 - x} ((4 - x) ((x + 4) (x - 4))) = \frac{2 (x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} ((4 - x) (x + 4) (x - 4)) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 12}{4 - x} ((4 - x) ((x + 4) (x - 4))) = \frac{2 (x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} ((4 - x) (x + 4) (x - 4)) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 12 ((x + 4) (x - 4)) = \frac{2 (x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} ((4 - x) (x + 4) (x - 4)) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.2

Развернем $(x + 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 (x (x - 4) + 4 (x - 4)) = \frac{2 (x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} ((4 - x) (x + 4) (x - 4)) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)) = \frac{2 (x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} ((4 - x) (x + 4) (x - 4)) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4) = \frac{2 (x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} ((4 - x) (x + 4) (x - 4)) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 4$ и $4 x$ .

$- 12 (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4) = \frac{2 (x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} ((4 - x) (x + 4) (x - 4)) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.3.1.2

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$- 12 (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4) = \frac{2 (x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} ((4 - x) (x + 4) (x - 4)) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.3.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$- 12 (x \cdot x + 4 \cdot - 4) = \frac{2 (x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} ((4 - x) (x + 4) (x - 4)) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- 12 (x^{2} + 4 \cdot - 4) = \frac{2 (x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} ((4 - x) (x + 4) (x - 4)) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.3.2.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$- 12 (x^{2} - 16) = \frac{2 (x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} ((4 - x) (x + 4) (x - 4)) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.3.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 x^{2} - 12 \cdot - 16 = \frac{2 (x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} ((4 - x) (x + 4) (x - 4)) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.2.3.3.2

Умножим $- 12$ на $- 16$ .

$- 12 x^{2} + 192 = \frac{2 (x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} ((4 - x) (x + 4) (x - 4)) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $(x + 4) (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $(x + 4) (x - 4)$ из $(4 - x) (x + 4) (x - 4)$ .

$- 12 x^{2} + 192 = \frac{2 (x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} ((x + 4) (x - 4) (4 - x)) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$- 12 x^{2} + 192 = \frac{2 (x + 2)}{(x + 4) (x - 4)} ((x + 4) (x - 4) (4 - x)) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- 12 x^{2} + 192 = 2 (x + 2) (4 - x) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 x^{2} + 192 = (2 x + 2 \cdot 2) (4 - x) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$- 12 x^{2} + 192 = (2 x + 4) (4 - x) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.3.1.4

Развернем $(2 x + 4) (4 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 x^{2} + 192 = 2 x (4 - x) + 4 (4 - x) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 x^{2} + 192 = 2 x \cdot 4 + 2 x (- x) + 4 (4 - x) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 x^{2} + 192 = 2 x \cdot 4 + 2 x (- x) + 4 \cdot 4 + 4 (- x) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.3.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1.1

Умножим $4$ на $2$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 8 x + 2 x (- x) + 4 \cdot 4 + 4 (- x) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.3.1.5.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 12 x^{2} + 192 = 8 x + 2 \cdot - 1 x \cdot x + 4 \cdot 4 + 4 (- x) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.3.1.5.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1.3.1

Перенесем $x$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 8 x + 2 \cdot - 1 (x \cdot x) + 4 \cdot 4 + 4 (- x) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.3.1.5.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 8 x + 2 \cdot - 1 x^{2} + 4 \cdot 4 + 4 (- x) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.3.1.5.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 8 x - 2 x^{2} + 4 \cdot 4 + 4 (- x) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.3.1.5.1.5

Умножим $4$ на $4$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 8 x - 2 x^{2} + 16 + 4 (- x) - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.3.1.5.1.6

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 8 x - 2 x^{2} + 16 - 4 x - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.3.1.5.2

Вычтем $4 x$ из $8 x$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 - 2 ((4 - x) (x + 4) (x - 4))$

Этап 3.3.1.6

Развернем $(4 - x) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 - 2 ((4 (x + 4) - x (x + 4)) (x - 4))$

Этап 3.3.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 - 2 ((4 x + 4 \cdot 4 - x (x + 4)) (x - 4))$

Этап 3.3.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 - 2 ((4 x + 4 \cdot 4 - x \cdot x - x \cdot 4) (x - 4))$

Этап 3.3.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 - 2 ((4 x + 16 - x \cdot x - x \cdot 4) (x - 4))$

Этап 3.3.1.7.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1.2.1

Перенесем $x$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 - 2 ((4 x + 16 - (x \cdot x) - x \cdot 4) (x - 4))$

Этап 3.3.1.7.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 - 2 ((4 x + 16 - x^{2} - x \cdot 4) (x - 4))$

Этап 3.3.1.7.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 - 2 ((4 x + 16 - x^{2} - 4 x) (x - 4))$

Этап 3.3.1.7.2

Вычтем $4 x$ из $4 x$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 - 2 ((16 - x^{2} + 0) (x - 4))$

Этап 3.3.1.7.3

Добавим $16$ и $0$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 - 2 ((- x^{2} + 16) (x - 4))$

Этап 3.3.1.8

Развернем $(- x^{2} + 16) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 - 2 (- x^{2} (x - 4) + 16 (x - 4))$

Этап 3.3.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 - 2 (- x^{2} x - x^{2} \cdot - 4 + 16 (x - 4))$

Этап 3.3.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 - 2 (- x^{2} x - x^{2} \cdot - 4 + 16 x + 16 \cdot - 4)$

Этап 3.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.9.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.9.1.1

Перенесем $x$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 - 2 (- (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 4 + 16 x + 16 \cdot - 4)$

Этап 3.3.1.9.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.9.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 - 2 (- (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 4 + 16 x + 16 \cdot - 4)$

Этап 3.3.1.9.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 - 2 (- x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 4 + 16 x + 16 \cdot - 4)$

Этап 3.3.1.9.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 - 2 (- x^{3} - x^{2} \cdot - 4 + 16 x + 16 \cdot - 4)$

Этап 3.3.1.9.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 - 2 (- x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 16 \cdot - 4)$

Этап 3.3.1.9.3

Умножим $16$ на $- 4$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 - 2 (- x^{3} + 4 x^{2} + 16 x - 64)$

Этап 3.3.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 - 2 (- x^{3}) - 2 (4 x^{2}) - 2 (16 x) - 2 \cdot - 64$

Этап 3.3.1.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.11.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 + 2 x^{3} - 2 (4 x^{2}) - 2 (16 x) - 2 \cdot - 64$

Этап 3.3.1.11.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 2 (16 x) - 2 \cdot - 64$

Этап 3.3.1.11.3

Умножим $16$ на $- 2$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x - 2 \cdot - 64$

Этап 3.3.1.11.4

Умножим $- 2$ на $- 64$ .

$- 12 x^{2} + 192 = 4 x - 2 x^{2} + 16 + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x + 128$

Этап 3.3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $32 x$ из $4 x$ .

$- 12 x^{2} + 192 = - 2 x^{2} + 16 + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 28 x + 128$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $8 x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$- 12 x^{2} + 192 = - 10 x^{2} + 16 + 2 x^{3} - 28 x + 128$

Этап 3.3.2.3

Добавим $16$ и $128$ .

$- 12 x^{2} + 192 = - 10 x^{2} + 2 x^{3} - 28 x + 144$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 10 x^{2} + 2 x^{3} - 28 x + 144 = - 12 x^{2} + 192$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $12 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- 10 x^{2} + 2 x^{3} - 28 x + 144 + 12 x^{2} = 192$

Этап 4.2.2

Добавим $- 10 x^{2}$ и $12 x^{2}$ .

$2 x^{2} + 2 x^{3} - 28 x + 144 = 192$

Этап 4.3

Вычтем $192$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} + 2 x^{3} - 28 x + 144 - 192 = 0$

Этап 4.4

Вычтем $192$ из $144$ .

$2 x^{2} + 2 x^{3} - 28 x - 48 = 0$

Этап 4.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 x^{3} - 28 x - 48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 2 x^{3} - 28 x - 48 = 0$

Этап 4.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$2 (x^{2}) + 2 (x^{3}) - 28 x - 48 = 0$

Этап 4.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 28 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 (- 14 x) - 48 = 0$

Этап 4.5.1.4

Вынесем множитель $2$ из $- 48$ .

$2 (x^{2}) + 2 x^{3} + 2 (- 14 x) + 2 \cdot - 24 = 0$

Этап 4.5.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2}) + 2 x^{3}$ .

$2 (x^{2} + x^{3}) + 2 (- 14 x) + 2 \cdot - 24 = 0$

Этап 4.5.1.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} + x^{3}) + 2 (- 14 x)$ .

$2 (x^{2} + x^{3} - 14 x) + 2 \cdot - 24 = 0$

Этап 4.5.1.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} + x^{3} - 14 x) + 2 \cdot - 24$ .

$2 (x^{2} + x^{3} - 14 x - 24) = 0$

Этап 4.5.2

Изменим порядок членов.

$2 (x^{3} + x^{2} - 14 x - 24) = 0$

Этап 4.5.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Разложим $x^{3} + x^{2} - 14 x - 24$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Этап 4.5.3.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Этап 4.5.3.1.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 14 \cdot - 2 - 24$

Этап 4.5.3.1.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 14 \cdot - 2 - 24$

Этап 4.5.3.1.3.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 8 + 4 - 14 \cdot - 2 - 24$

Этап 4.5.3.1.3.4

Добавим $- 8$ и $4$ .

$- 4 - 14 \cdot - 2 - 24$

Этап 4.5.3.1.3.5

Умножим $- 14$ на $- 2$ .

$- 4 + 28 - 24$

Этап 4.5.3.1.3.6

Добавим $- 4$ и $28$ .

$24 - 24$

Этап 4.5.3.1.3.7

Вычтем $24$ из $24$ .

$0$

Этап 4.5.3.1.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 14 x - 24}{x + 2}$

Этап 4.5.3.1.5

Разделим $x^{3} + x^{2} - 14 x - 24$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$14 x$

$24$

Этап 4.5.3.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$14 x$	-	$24$

Этап 4.5.3.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$14 x$	-	$24$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 4.5.3.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$14 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 4.5.3.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$14 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 4.5.3.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$14 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$14 x$

Этап 4.5.3.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$14 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$14 x$

Этап 4.5.3.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$14 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$14 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Этап 4.5.3.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} - 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$14 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$14 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 4.5.3.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$14 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$14 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$12 x$

Этап 4.5.3.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$14 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$14 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$12 x$	-	$24$

Этап 4.5.3.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$14 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$14 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$12 x$	-	$24$

Этап 4.5.3.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$14 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$14 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$12 x$	-	$24$
							-	$12 x$	-	$24$

Этап 4.5.3.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 x - 24$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$14 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$14 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$12 x$	-	$24$
							+	$12 x$	+	$24$

Этап 4.5.3.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$14 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$14 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$12 x$	-	$24$
							+	$12 x$	+	$24$
										$0$

Этап 4.5.3.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x - 12$

Этап 4.5.3.1.6

Запишем $x^{3} + x^{2} - 14 x - 24$ в виде набора множителей.

$2 ((x + 2) (x^{2} - x - 12)) = 0$

Этап 4.5.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x + 2) (x^{2} - x - 12) = 0$

Этап 4.5.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Разложим $x^{2} - x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 1$ .

$- 4, 3$

Этап 4.5.4.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 (x + 2) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Этап 4.5.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x + 2) (x - 4) (x + 3) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.8

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 4.8.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 4.9

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 4.9.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x + 2) (x - 4) (x + 3) = 0$ верно.

$x = - 2, 4, - 3$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $2 - \frac{12}{4 - x} = \frac{2 x + 4}{x^{2} - 16}$ истинным.

$x = - 2, - 3$