Алгебра Примеры

$f (x) = {(3 x - 1)}^{3}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Пусть $u = 3 x - 1$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 3 x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{3} \frac{1}{3} d u$

Этап 3

Объединим $u^{3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u^{3}}{3} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int u^{3} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ в виде $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C$

Этап 6.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{1}{12} u^{4} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 1$ .

$\frac{1}{12} {(3 x - 1)}^{4} + C$

Этап 8

Функция $F$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$F (x) = \frac{1}{12} \cdot {(3 x - 1)}^{4} + C$