Алгебра Примеры

$x^{3} + 2 x - 1 = 2$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} + 2 x - 1 - 2 = 0$

Этап 2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$x^{3} + 2 x - 3 = 0$

Этап 3

Разложим $x^{3} + 2 x - 3$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Этап 3.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 3$

Этап 3.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} + 2 \cdot 1 - 3$

Этап 3.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 + 2 \cdot 1 - 3$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$1 + 2 - 3$

Этап 3.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$3 - 3$

Этап 3.3.5

Вычтем $3$ из $3$ .

$0$

Этап 3.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 2 x - 3}{x - 1}$

Этап 3.5

Разделим $x^{3} + 2 x - 3$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

Этап 3.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$

Этап 3.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 3.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 3.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Этап 3.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 3.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 3.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Этап 3.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Этап 3.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$

Этап 3.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$3$

Этап 3.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$3$

Этап 3.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	-	$3$

Этап 3.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x - 3$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$

Этап 3.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$
										$0$

Этап 3.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + x + 3$

Этап 3.6

Запишем $x^{3} + 2 x - 3$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (x^{2} + x + 3) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 3 = 0$

Этап 5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 6

Приравняем $x^{2} + x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x^{2} + x + 3$ к $0$ .

$x^{2} + x + 3 = 0$

Этап 6.2

Решим $x^{2} + x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.3

Вычтем $12$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.4

Перепишем $- 11$ в виде $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (11)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{11}}{2}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x^{2} + x + 3) = 0$ верно.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{11}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{11}}{2}$